证明以下三角恒等式：\( \frac{\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \cot \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta}=\tan \theta \)

待办事项

我们需要证明\( \frac{\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \cot \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta}=\tan \theta \).

解答

我们知道：

$\sec ^{2} \theta-\tan^2 \theta=1$.......(i)

$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.......(ii)

$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.........(iii)

因此：

$\frac{\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \cot \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta}=\frac{\left(\sec ^{2} \theta\right) \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin^2 \theta}}$                                [根据(i)和(ii)]

$=\frac{\frac{1}{\cos^2 \theta} \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin^2 \theta}}$               

$=\tan \theta$                  [根据(iii)]

证毕。    

教程点

更新于：2022年10月10日

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