证明以下三角恒等式：$\frac{\left(1+\cot ^{2} \theta\right) \tan \theta}{\sec ^{2} \theta}=\cot \theta$

待办事项

我们必须证明$\frac{\left(1+\cot ^{2} \theta\right) \tan \theta}{\sec ^{2} \theta}=\cot \theta$.

解答

我们知道：

$\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot ^{2} \theta=1$.......(i)

$\cot \theta=\frac{\operatorname{cosec} \theta}{\sec \theta}$........(ii)

$\tan \theta \times \cot \theta=1$........(iii)

因此：

$\frac{\left(1+\cot ^{2} \theta\right) \tan \theta}{\sec ^{2} \theta}=\frac{\operatorname{cosec} ^{2} \theta) \tan \theta}{\sec ^{2} \theta}$     (由(i)式)

$=(\frac{\operatorname{cosec} \theta}{\sec \theta})^2\times \tan \theta$

$=(\cot \theta)^2\times \tan \theta$          (由(ii)式)

$=\cot \theta \times \cot \theta \times \tan \theta$      

$=1\times \cot \theta$           (由(iii)式)

$=\cot \theta$

证毕。    

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更新于： 2022年10月10日

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