证明以下三角恒等式：\( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\sec \theta \operatorname{cosec} \theta \)

待办事项

我们需要证明 \( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\sec \theta \operatorname{cosec} \theta \).

解答： 我们知道，

$\sec ^{2} A-tan ^{2} A=1$.......(i)

$ \tan A=\frac{\sin\ A}{\cos\ A}=\frac{\sec\ A}{\operatorname{cosec} A}$.......(ii)

因此，

$\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\tan ^{2} \theta+1}{\tan \theta}$

$=\frac{\sec ^{2} \theta}{\tan \theta}$      (根据 (i))

$=\sec \theta \times \frac{\sec \theta}{\sec \theta} \times \operatorname{cosec} \theta$           (根据 (ii))

$=\sec \theta \operatorname{cosec} \theta$             

证毕。  

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更新于： 2022年10月10日

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