证明
$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}=\frac{\tan \theta+\sec \theta+1}{\tan \theta+\sec \theta-1}$

已知

给定语句为$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}=\frac{\tan \theta+\sec \theta+1}{\tan \theta+\sec \theta-1}$。

要求

我们必须证明给定语句中$LHS=RHS$。

解答

$LHS =\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}$

我们知道：

$1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta-1$

$\tan^2 \theta = (\sec \theta-1)(\sec \theta+1)$               $[a^2-b^2=(a+b)(a-b)]$

$\tan \theta \cdot \tan \theta = (\sec \theta-1)(\sec \theta+1)$

$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}=\frac{\sec \theta+1}{\tan \theta}$

根据比例定理：

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$

所以，$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}=\frac{\sec \theta+1}{\tan \theta}= \frac{\tan \theta+\sec \theta+1}{\sec \theta-1+\tan \theta}$

因此，$\frac{\tan \theta}{\sec \theta-1}= \frac{\tan \theta+\sec \theta+1}{\tan \theta+\sec \theta-1}= RHS$。

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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