证明以下三角恒等式：$\left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)=1$

待办事项

我们需要证明$\left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)=1$.

解答

我们知道：

$\sin^2 \theta+\cos ^{2} \theta=1$.....(i)

$\sec^2 \theta-\tan ^{2} \theta=1$.......(ii)

$\sec \theta \times \cos \theta=1$.......(iii)

因此：

$\left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)=\left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1^2-\sin^2 \theta)$          [因为 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$]

$=\left(\sec ^{2} \theta\right)(\cos^2 \theta)$           [根据 (i) 和 (ii)]

$=(\sec \theta\times \cos \theta)^2$                  

$=1^2$                          [根据 (iii)]

$=1$

证毕。   

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更新于： 2022年10月10日

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