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法学证明以下三角恒等式：\( \left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)=1 \)
待办事项
我们需要证明\( \left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)=1 \).
解答
我们知道：
$\sin^2 \theta+\cos ^{2} \theta=1$.....(i)
$\sec^2 \theta-\tan ^{2} \theta=1$.......(ii)
$\sec \theta \times \cos \theta=1$.......(iii)
因此：
$\left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)=\left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1^2-\sin^2 \theta)$ [因为 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$]
$=\left(\sec ^{2} \theta\right)(\cos^2 \theta)$ [根据 (i) 和 (ii)]
$=(\sec \theta\times \cos \theta)^2$
$=1^2$ [根据 (iii)]
$=1$
证毕。
更新于： 2022年10月10日
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