已知 \( \cot \theta=\frac{3}{4} \)，证明 \( \sqrt{\frac{\sec \theta-\operatorname{cosec} \theta}{\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta}}=\frac{1}{\sqrt{7}} \)

已知

\( \cot \theta=\frac{3}{4} \)

要求

我们必须证明 \( \sqrt{\frac{\sec \theta-\operatorname{cosec} \theta}{\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta}}=\frac{1}{\sqrt{7}} \).

解:  

设在直角三角形ABC中，∠B为直角，$\ cot\ \theta = cot\ A = \frac{3}{4}$。

我们知道：

在以B为直角的直角三角形ABC中，

根据勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角比的定义，

$cosec\ \theta=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}$

$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$

$cot\ \theta=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$

这里，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(3)^2+(4)^2$

$\Rightarrow AC^2=9+16$

$\Rightarrow AC=\sqrt{25}=5$

因此，

$cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{4}$

$sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}$

现在，

让我们考虑左边，

$\sqrt{\frac{\sec \theta-\operatorname{cosec} \theta}{\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta}}=\sqrt{\frac{\frac{5}{3} -\frac{5}{4}}{\frac{5}{3} +\frac{5}{4}}}$

$=\sqrt{\frac{\frac{5( 4) -5( 3)}{12}}{\frac{5( 4) +5( 3)}{12}}}$

$=\sqrt{\frac{5( 4-3)}{5( 4+3)}}$

$=\sqrt{\frac{1}{7}}$

$=\frac{1}{\sqrt7}$

$=$ 右边

证毕。 

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更新于: 2022年10月10日

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