如果 \( \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \)，求 \( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta} \) 的值。

已知

\( \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

求解

我们需要求 \( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta} \) 的值。

解：  

我们知道：

$\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta=1$

$\operatorname{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta=1$

因此：

$\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}$

$=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$=\sqrt{2}$ 

$\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta=1$

$\sec ^{2} \theta-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=1$

$\sec \theta=\sqrt{1+\frac{1}{2}}$

$=\sqrt{\frac{3}{2}}$

$=\sqrt{\frac{3}{2}}$

$\operatorname{cosec}^{2} \theta-(\sqrt{2})^2=1$

$\operatorname{cosec} \theta=\sqrt{1+2}$

$=\sqrt{3}$

这意味着：

$\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta}=\frac{(\sqrt{3})^{2}-\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{2}}{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$

$=\frac{3-\frac{3}{2}}{3+2}$

$=\frac{\frac{3}{2}}{5}$

$=\frac{3}{10}$

$=\frac{3}{10}$

因此，\( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta} \) 的值为 $\frac{3}{10}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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