数据结构
网络
关系型数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
时尚研究
法律研究证明：\( \cot ^{2} A \operatorname{cosec}^{2} B-\cot ^{2} B \operatorname{cosec}^{2} A=\cot ^{2} A-\cot ^{2} B \)
待办事项
我们需要证明\( \cot ^{2} A \operatorname{cosec}^{2} B-\cot ^{2} B \operatorname{cosec}^{2} A=\cot ^{2} A-\cot ^{2} B \)。
解答
我们知道，
$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此，
让我们考虑 LHS，
$\cot ^{2} \mathrm{~A} \operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~B}-\cot ^{2} \mathrm{~B} \operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\sin ^{2} \mathrm{~A}} \times \frac{1}{\sin ^{2} \mathrm{~B}}-\frac{\cos ^{2} \mathrm{~B}}{\sin ^{2} \mathrm{~B}} \times \frac{1}{\sin ^{2} \mathrm{~A}}$
$=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\sin ^{2} \mathrm{~A} \sin ^{2} \mathrm{~B}}-\frac{\cos ^{2} \mathrm{~B}}{\sin ^{2} \mathrm{~A} \sin ^{2} \mathrm{~B}}$
$=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}-\cos ^{2} \mathrm{~B}}{\sin ^{2} \mathrm{~A} \sin ^{2} \mathrm{~B}}$
让我们考虑 RHS，
$\cot ^{2} \mathrm{~A}-\cot ^{2} \mathrm{~B}=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\sin ^{2} \mathrm{~A}}-\frac{\cos ^{2} \mathrm{~B}}{\sin ^{2} \mathrm{~B}}$
$=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A} \sin ^{2} \mathrm{~B}-\sin ^{2} \mathrm{~A} \cos ^{2} \mathrm{~B}}{\sin ^{2} \mathrm{~A} \sin ^{2} \mathrm{~B}}$
$=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}\left(1-\cos ^{2} \mathrm{~B}\right)-\left(1-\cos ^{2} \mathrm{~A}\right) \cos ^{2} \mathrm{~B}}{\sin ^{2} \mathrm{~A} \sin ^{2} \mathrm{~B}}$
$=\frac{\cos ^{2} A-\cos ^{2} A \cos ^{2} B-\cos ^{2} B+\cos ^{2} A \cos ^{2} B}{\sin ^{2} A \sin ^{2} B}$
$=\frac{\cos ^{2} A-\cos ^{2} B}{\sin ^{2} A \sin ^{2} B}$
这里，
LHS = RHS
因此得证。
51 次浏览
