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法律研究证明：\( \frac{\operatorname{cosec} A}{\operatorname{cosec} A-1}+\frac{\operatorname{cosec} A}{\operatorname{cosec} A+1}=2 \sec ^{2} A \)
待办事项
我们需要证明 \( \frac{\operatorname{cosec} A}{\operatorname{cosec} A-1}+\frac{\operatorname{cosec} A}{\operatorname{cosec} A+1}=2 \sec ^{2} A \).
解答
我们知道，
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此，
$\frac{\operatorname{cosec} A}{\operatorname{cosec} A-1}+\frac{\operatorname{cosec} A}{\operatorname{cosec} A+1}=\frac{\operatorname{cosec}^{2} A+\operatorname{cosec} A+\operatorname{cosec}^{2} A-\operatorname{cosec} A}{(\operatorname{cosec} A-1)(\operatorname{cosec} A+1)}$
$=\frac{2 \operatorname{cosec}^{2} A}{\operatorname{cosec}^{2} A-1}$
$=\frac{2 \operatorname{cosec}^{2} A}{\cot ^{2} A}$
$=\frac{2 \times \sin ^{2} A}{\sin ^{2} A \times \cos ^{2} A}$
$=\frac{2}{\cos ^{2} A}$
$=2 \sec ^{2} A$
证毕。
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