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法律研究证明点\( \left(1,-\frac{3}{2}\right),\left(-3,-\frac{7}{2}\right) \)和\( \left(-4,-\frac{3}{2}\right) \)是直角三角形的顶点。
已知
已知点为\( \left(1,-\frac{3}{2}\right),\left(-3,-\frac{7}{2}\right) \)和\( \left(-4,-\frac{3}{2}\right) \)。
要求
我们必须证明点\( \left(1,-\frac{3}{2}\right),\left(-3,-\frac{7}{2}\right) \)和\( \left(-4,-\frac{3}{2}\right) \) 是直角三角形的顶点。
解答
设\( \Delta \mathrm{ABC} \)的顶点为\( \mathrm{A}(1,-\frac{3}{2}), \mathrm{B}(-3,-\frac{7}{2}) \)和\( \mathrm{C}(-4,-\frac{3}{2}) \)。
我们知道，
两点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-3-1)^{2}+(-\frac{7}{2}+\frac{3}{2})^{2}} \)
\( =\sqrt{(-4)^{2}+(\frac{-4}{2})^{2}} \)
\( =\sqrt{16+4} \)
\( =\sqrt{20} \)
类似地，
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(-4+3)^{2}+(-\frac{3}{2}+\frac{7}{2})^{2}} \)
\( =\sqrt{(-1)^{2}+(\frac{4}{2})^{2}} \)
\( =\sqrt{1+4}$
$=\sqrt{5}$
\( \mathrm{CA}=\sqrt{(1+4)^{2}+(-\frac{3}{2}+\frac{3}{2})^{2}} \)
\( =\sqrt{(5)^{2}+(0)^{2}} \)
\( =\sqrt{25} \)
\( =5 \)
这里，
\( \mathrm{CA} \)是最长边。
\( \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=(\sqrt{20})^{2}+(\sqrt{5})^{2} \)
\( =20+5=25 \)
\( \mathrm{CA}^{2}=(5)^{2}=25 \)
\( \therefore \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{CA}^{2} \)
因此，\( \Delta \mathrm{ABC} \)是直角三角形。
证毕。
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