简化下列每个乘积
$(\frac{1}{2} a-3 b)(3 b+\frac{1}{2} a)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})$

已知

$(\frac{1}{2} a-3 b)(3 b+\frac{1}{2} a)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})$

需要完成的任务

我们需要简化给定的乘积。

解答

我们知道：

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

因此：

$(\frac{1}{2} a-3 b)(3 b+\frac{1}{2} a)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})=(\frac{1}{2} a-3 b)(\frac{1}{2} a+3 b)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})$

$={(\frac{1}{2} a)^{2}-(3 b)^{2}}(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})$

$=(\frac{1}{4} a^{2}-9 b^{2})(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})$

$=(\frac{1}{4} a^{2})^{2}-(9 b^{2})^{2}$

$=\frac{1}{16} a^{4}-81 b^{4}$

因此，$(\frac{1}{2} a-3 b)(3 b+\frac{1}{2} a)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})=\frac{1}{16} a^{4}-81 b^{4}$。

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更新于：2022年10月10日

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