解下列方程：$8^{x+1}=16^{y+2}$ 和 $\left(\frac{1}{2}\right)^{3+x}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3 y}$

已知

$8^{x+1}=16^{y+2}$ 和 $\left(\frac{1}{2}\right)^{3+x}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3 y}$

要求：

我们必须解出给定的方程。

解答

我们知道，

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此，

$8^{x+1}=16^{y+2}$

$(2^{3})^{x+1}=(2^{4})^{y+2}$

$\Rightarrow 2^{3 x+3}=2^{4 y+8}$

比较两边，得到，

$3 x+3=4 y+8$

$\Rightarrow 3 x-4 y=8-3=5$.........(i)

$(\frac{1}{2})^{3+x}=(\frac{1}{4})^{3 y}$

$=[(\frac{1}{2})^{2}]^{3 y}$

$=(\frac{1}{2})^{6 y}$

比较两边，得到，

$3+x=6 y$

$\Rightarrow x=6 y-3$

将 $x=6y-3$ 代入 (i)，得到，

$3(6y-3)-4y=5$

$18y-9-4y=5$

$14y=5+9=14$

$y=1$

$\Rightarrow x=6(1)-3=6-3=3$

$x$ 和 $y$ 的值分别为 $3$ 和 $1$。       

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更新于： 2022年10月10日

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