勾股四元数

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四个正整数 (a, b, c, d) 满足勾股定理的被称为勾股四元数。

该方程可以写成：a² + b² + c² = d²，其中 ‘d’ 是给定数字中最大的值。换句话说，第四个整数的平方应该等于前三个数字平方和。

(1, 2, 2, 3) 是一个勾股四元数，因为 (1² + 2² + 2²) = (1 + 4 + 4) = (9) = (3²)。由于需要满足勾股定理，并非所有四个正整数集合都是勾股四元数。勾股四元数可以用来创建引人入胜的数学模式，并且在数论中也有应用。

问题陈述

这个问题的目的是检查给定的4个整数是否构成勾股四元数。

示例

Input: {2, 3, 6, 7}
Output: True

说明 −

前三个数字的平方和可以写成：

(2² + 3² + 6²) = (4 + 9 + 36) = 49

第四个数的平方是 7² = 49，等于前面的结果。因此，数字 {2, 3, 6, 7} 构成勾股四元数，所以我们返回 True。

Input: {1, 4, 8, 9}
Output: True

说明 −

前三个数字的平方和可以写成：

(1² + 4² + 8²) = (1 + 16 + 64) = 81

第四个数的平方是 9² = 81，等于前面的结果。因此，数字 {1, 4, 8, 9} 构成勾股四元数，所以我们返回 True。

Input: {1, 2, 3, 4}
Output: False

说明 −

前三个数字的平方和可以写成：

(1² + 2² + 3²) = (1 + 4 + 9) = 14

第四个数的平方是 4² = 16，不等于前面的结果。因此，数字 {1, 4, 8, 9} 不构成勾股四元数，所以我们返回 False。

解决方案方法

为了确定给定的4个数字是否构成勾股四元数，我们必须确定前3个数字的平方和是否等于第四个数字的平方，其中第四个数字的绝对值最大。

算法

该方法包括以下步骤：

• 将数字向量按非递减顺序排序。

• 计算前三个数字的平方和。

• 计算第四个数的平方。

• 检查步骤2和步骤3得到的结果是否相等。

• 显示答案。

伪代码

函数 is_pythagorean_quadruplet()

• 初始化 squareSum。

• squareSum = a² + b² + c²

• 返回 (squareSum == d²)

函数 main()

• 初始化 vector<int>nums = {a, b, c, d}

• sort (nums.begin(), nums.end())

• 如果 (is_pythagorean_quadruplet())

• 返回 true

• 否则

• 返回 false

• 打印输出

示例：C++程序

此程序代码使用is_pythagorean_quadruplet()布尔函数检查存储在向量中的给定的4个数字是否构成勾股四元数。它最初使用C++标准模板库sort()函数对向量进行排序。然后计算前三个数字的平方和并将它们存储在squareSum变量中。如果squareSum的值等于第四个数的平方，则函数is_pythagorean_quadruplet()返回true，否则返回false。

// C++ code for to check if the 4 given numbers form a Pythagorean Quadruple
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// this function is used to check out whether the 4 given numbers form a Pythagorean Quadruplet or not
bool is_pythagorean_quadruplet(vector<int> nums){
   int squareSum;
   squareSum = pow(nums[0], 2) + pow(nums[1], 2) + pow(nums[2], 2); // 9
   return (squareSum == pow(nums[3], 2)); // compares summation of square   of  first three numbers with square of fourth number (9 == 9)
}

int main(){
   vector<int> nums = {1, 2, 2, 3};
   sort(nums.begin(), nums.end()); // sorts the numbers in non-decreasing order
   if (is_pythagorean_quadruplet(nums)) {
      cout << "True" << endl; 
   } else {
      cout << "False" << endl;
   }
   return 0;
}

输出

True

时间和空间复杂度分析

时间复杂度：O(1)

O(1)，因为它执行固定数量的操作。squareSum由函数is_pythagorean_quadruplet()使用三个常数时间操作计算，并测试其与第四个元素的平方是否相等。

在最坏的情况下，sort函数的时间复杂度为O(nlog(n))。因此，代码的整体时间复杂度应该为O(nlog(n))，其中n是向量中元素的数量。但是，由于在每种情况下向量的长度都设置为4，因此sort函数的时间复杂度保持不变。

空间复杂度：O(1)

这是因为存储输入向量所需的存储空间始终为4。代码的实现不需要辅助空间；因此，空间复杂度可以认为是常数。

结论

总之，勾股四元数是整数a、b、c和d的元组，满足

a² + b² + c² = d²。本文介绍的算法提供了一种简单有效的方法，可以在不使用辅助空间的情况下，以常数时间确定四个整数的元组是否构成勾股四元数。本文讨论了勾股四元数的基本概念以及相应的示例。它还提供了解决方案方法、使用的算法和C++程序解决方案，以及对其时间复杂度和空间复杂度的深入分析。