Python - Golomb编码 (b=2n 和 b!=2n)

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Golomb编码是一种用于对具有特定分布的非负整数进行编码的数据压缩技术。它由所罗门·W·戈隆布于1966年提出，并已广泛应用于各种应用中，包括视频和图像压缩、信息检索和数据存储。在本文中，我们将探讨Golomb编码，并了解两种情况，即基数为2的幂(b=2^n)和基数不为2的幂(b ≠ 2^n)。

Golomb编码 (b=2^n，基数为2的幂)

当基数为2的幂时，Golomb编码变得相对简单。让我们考虑一个b = 4 (2^2)的例子。

当基数为2的幂时，查找数字Golomb编码的步骤。

确定商和余数

要对一个数字(n)进行编码，我们首先将其除以b，并得到商(q)和余数(r)。在我们的例子中，假设n = 12。

n = 12

b = 4

q = n // b # quotient
r = n % b # remainder

因此，在我们的例子中

• q = 12 // 4 = 3

• r = 12 % 4 = 0

对商进行编码

商(q)使用一元编码进行编码，这意味着它由q个连续的1后面跟着一个0表示。在我们的例子中，q = 3，所以q的一元编码是“1110”（三个1后面跟着一个0）。

对余数进行编码

余数(r)使用二进制编码进行编码。由于b = 4，我们需要使用2位来编码r。在我们的例子中，r = 0，可以用二进制“00”表示。n = 12和b = 4的最终Golomb编码是商的一元编码和余数的二进制编码的连接。因此，n = 12的Golomb编码是“111000”。

Golomb编码 (b ≠ 2^n，基数不为2的幂)

当基数不为2的幂时，编码过程会稍微复杂一些。让我们考虑一个b = 7的例子。

当基数不为2的幂时，查找数字Golomb编码的步骤。

确定商和余数

与前面的情况类似，我们将数字(n)除以b以获得商(q)和余数(r)。假设n = 23。

n = 23

b = 7

q = n // b # quotient
r = n % b # remainder

在我们的例子中

• q = 23 // 7 = 3

• r = 23 % 7 = 2

对商进行编码

商(q)使用一元编码进行编码，与前面的情况相同。因此，q = 3将在一元中表示为“1110”。

对余数进行编码

余数(r)使用Rice编码或二进制编码进行编码。Rice编码通过将r分成两部分来对r进行编码：前缀和后缀。

前缀计算

前缀是通过计算k确定的，k是满足2^k ≥ b的最小整数。在我们的例子中，b = 7，所以k = 3。我们计算范围(R)为R = 2^k − b。在这种情况下，R = 2^3 − 7 = 1。如果r < R，我们使用k−1位二进制编码对r进行编码。否则，我们使用k位二进制编码对r+R进行编码。在我们的例子中，r = 2且R = 1。由于r < R，我们使用k−1 = 2位二进制编码对r = 2进行编码。因此，r = 2将用二进制“10”表示。n = 23和b = 7的最终Golomb编码是商的一元编码和编码后的余数r的连接。因此，n = 23的Golomb编码是“111010”。

Golomb编码实现

我们可以使用Python通过为一元编码、二进制编码创建函数来实现Golomb编码背后的逻辑。Golomb编码的代码实现如下所示。

示例

在下面的示例中，unary_encoding函数对给定的商(q)执行一元编码。它创建了一个由q个连续的“1”后跟一个“0”组成的字符串，以一元表示商。binary_encoding函数对给定的余数(r)和前缀长度(k)执行二进制编码。如果r小于2^k和r的差，则它使用k−1位二进制对r进行编码。否则，它使用k位二进制对r+2^k−r进行编码。golomb_encoding函数对给定的数字(n)和基数(b)执行Golomb编码。它分别通过执行整数除法和模运算来计算商(q)和余数(r)。以下示例中涵盖的案例是

• 如果基数(b)是2的幂（使用b & (b − 1) == 0检查），它直接将余数(r)转换为二进制，并用零填充以匹配b的二进制表示的长度。

• 如果基数(b)不是2的幂，则它通过从b的二进制表示的长度中减去3来计算前缀长度(k)。然后，它调用binary_encoding函数使用前缀长度(k)对余数(r)进行编码。

编码后的Golomb数字是通过连接一元编码的商(q)和二进制编码的余数(r)获得的。

def unary_encoding(q):
    """
    Perform unary encoding for the given quotient (q).
    """
    encoded = "1" * q + "0"
    return encoded


def binary_encoding(r, k):
    """
    Perform binary encoding for the given remainder (r) and prefix length (k).
    """
    if r < 2 ** k - r:
        encoded = bin(r)[2:].zfill(k - 1)
    else:
        encoded = bin(r + 2 ** k - r)[2:].zfill(k)
    return encoded


def golomb_encoding(n, b):
    """
    Perform Golomb encoding for the given number (n) and base (b).
    """
    q = n // b  # quotient
    r = n % b   # remainder

    unary_encoded = unary_encoding(q)
    if b & (b - 1) == 0:  # Check if b is a power of 2
        binary_encoded = bin(r)[2:].zfill(len(bin(b)) - 2)
    else:
        k = len(bin(b)) - 3  # Prefix length
        binary_encoded = binary_encoding(r, k)

    encoded = unary_encoded + binary_encoded
    return encoded


# Example usage
number = 23
base = 7

encoded_number = golomb_encoding(number, base)
print("Golomb Encoding for number", number, "with base", base, ":", encoded_number)

输出

Golomb Encoding for number 23 with base 7 : 1110100

结论

在本文中，我们讨论了Golomb编码及其相关的两种情况，即b=2^n和b ≠ 2^n。Golomb编码是一种有用的数据压缩技术，尤其适用于具有某些模式的非负整数分布。在处理压缩算法、信息检索系统和其他数据密集型应用程序时，了解Golomb编码非常有价值。