余数

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简介

除法是数学中基本的算术运算。它是将事物分配成相等部分的过程。当被除数不能被除数完全整除时，会留下一个数字或值，这个数字或值被称为余数。在数学中，在许多情况下，剩余的部分或值被称为残差。有时在许多计算中，为了得到整数答案，会忽略或四舍五入残差。例如，在十进制数 5.04 中，小数点后的数字是 4。它表示余数或残差。有时为了只给出整数答案，会忽略残差 4，答案为 5。当一个多项式被一个线性多项式除时，使用余数定理。在本教程中，我们将学习欧几里得除法算法。

除法

除法是数学中基本的算术运算。除法是将事物分配成相等部分的过程。它是乘法的逆运算。除法可以用符号 / 表示，有时也用 ( ) 表示，例如 $\mathrm{8\:\div\:2\:=\:4}$。这可以用乘法形式写成 $\mathrm{2\:\times\:4\:=\:4}$。因此可以说它是乘法的逆运算。

关于除法的基本术语

被除数

它是任何我们将要分成相等部分的数字、数量或值，称为被除数。它是除法的重要组成部分。

除数

它是用来除被除数的数字，称为除数。

商

它是执行除法后得到的数值或答案，称为商。

余数

执行除法后，剩余或留下的值称为余数。

例如

考虑 $\mathrm{105\:\div\:5\:=}$

这里被除数 = 105

除数 = 5

商 = 21

余数 = 0

欧几里得除法算法

欧几里得除法算法基于欧几里得除法引理。引理是用来证明另一个陈述的已证明的陈述。进一步转向欧几里得除法算法，首先我们需要理解欧几里得除法引理。

根据欧几里得除法引理，对于每个正整数 𝑎 和 b，存在唯一的整数 q 和 r 满足 $\mathrm{a\:=\:bq\:+\:r,\:0\:\leq\:r\:<\:b}$

在七年级你已经学习过这个引理，即：

$\mathrm{被除数\:=\:除数\:\times\:商\:+\:余数}$

这里整数 q 和 r 分别是商和余数。

让我们用一个例子来理解欧几里得除法引理：

当我们用 5 除 46 时，得到商 9 和余数 1，那么根据欧几里得除法引理：

$$\mathrm{39\:=\:5\:\times\:7\:\div\:4}$$

算法是一系列明确定义的步骤，它给出解决某一类型问题的过程。欧几里得除法算法用于计算给定两个整数的最大公因数 (HCF)。

让我们通过以下步骤使用欧几里得除法算法获得两个正整数 c 和 d 的最大公因数：

步骤 1 - 应用欧几里得除法引理，所以我们可以找到 q 和 r，使得 $\mathrm{c\:=\:dq\:+\:r,\:0\:\leq\:r\:<\:d}$ 。

步骤 2 - 如果 $\mathrm{r\:=\:0}$，则 c 和 d 的最大公因数是 d。当 $\mathrm{r\:\neq\:0}$ 时，此引理适用。

步骤 3 - 继续这个过程，直到余数为零。该阶段的除数将是所需的最大公因数。

余数

执行除法后，剩余或留下的值称为余数。当被除数不能被除数完全整除时，会留下一个数字或值，这个数字或值被称为余数。在数学中，残差是指计算完成后剩下的东西。在许多情况下，为了得到整数答案，有时会忽略或四舍五入这些余数。

数字除法中余数的性质

• 余数总是小于除数。

• 如果被除数能被除数完全整除，则余数为零。

多项式除法中余数的性质

• 在多项式除法中，可以使用余数定理和因式定理来找到余数。

• 多项式的次数应为 1。

• 余数的次数总是小于除数的次数。

• 当任何多项式被次数为 1 的线性多项式除时，余数必须为常数。

多项式中的余数定理

此定理用于求多项式被线性多项式除时的余数。当我们执行除法时，剩余的数字或项称为余数。所以让我们讨论余数定理。

余数定理 令 $\mathrm{p(x)}$ 为任何次数大于或等于 1 的多项式，并令为任何实数。

假设 $\mathrm{p(x)}$ 被 $\mathrm{x\:-\:a}$ 除，商为 $\mathrm{q(x)}$，余数为 $\mathrm{r(x)}$，则余数为 $\mathrm{p(a)}$。

证明 - 令 $\mathrm{p(x)}$ 为任何次数大于或等于 1 的多项式，并令为任何实数。假设 $\mathrm{p(x)}$ 被 𝑥 − 𝑎 除，商为 $\mathrm{q(x)}$，余数为 $\mathrm{r(x)}$。数学上可以表示为

$$\mathrm{P(x)\:=\:(x\:-\:a)\:\times\:q(x)\:+\:r(x)}$$

这里 𝑥 − 𝑎 的次数为 1，𝑟(𝑥) 的次数小于 $\mathrm{x\:-\:a}$ 的次数。

因此 𝑟(𝑥) 的次数 = 0。这意味着 𝑟(𝑥) 是常数，设为 r。

$$\mathrm{P(x)\:=\:(x\:-\:a)\:\times\:q(x)\:+\:r}$$

特别是，如果我们考虑 𝑥 = 𝑎，这个等式将给我们

$$\mathrm{P(a)\:=\:(a\:-\:a)\:\times\:q(a)\:+\:r}$$

证毕

结论

本教程涵盖了除法、欧几里得除法算法、余数、数字除法和多项式除法中余数的性质以及余数定理等主题。除法是数学中基本的算术运算之一。当被除数不能被除数完全整除时，会留下一个数字或值，这个数字或值称为余数。在数学中，残差是指计算完成后剩下的东西。欧几里得除法算法用于在给出两个整数时找到最大公因数 (HCF)。余数定理用于求多项式被线性多项式除时的余数。

常见问题

1. 零是余数吗？

是的。当被除数能被除数完全整除时，我们得到的余数为零。

2. 说明余数定理的应用？

余数定理的主要应用是证明因式定理，以及求多项式被线性多项式除时的余数。

3. 说明以下陈述是真还是假。除以零是未定义的？

正确 - 如果任何数字乘以零，答案为零，反过来，即 $\mathrm{}\frac{1}{10}$。它将具有无限值。因此，我们无法在数学中指定该值。

4. 欧几里得除法引理和欧几里得除法算法相同还是不同？

欧几里得除法引理是一个已证明的陈述，用于证明另一个陈述。而欧几里得除法算法给出一系列明确定义的步骤来解决此类问题。

5. 欧几里得除法引理有哪些应用？

欧几里得除法引理的应用：

• 它用于整数的除法。

• 它用于确定正整数的最大公因数。

• 它用于查找奇数、偶数、立方数、平方数等性质。