多项式的根

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介绍

许多代数表达式组合在一起构成多项式。它们可以包含常数、变量和指数，或者说是幂。

当我们考虑多项式的任何表达式时，变量的幂都是正整数，而不是分数。

多项式不包含变量的平方根或变量的负幂。

多项式的系数是乘以变量的数字。

不包含任何变量的数字，或者说是乘以幂为零的变量的数字，称为多项式的**常数**。

多项式的次数是多项式中任何变量的最高幂。

多项式的项是多项式的每个部分，它们由加法或减法运算隔开。

多项式在现实生活中有着广泛的应用。在本教程中，我们将学习多项式、多项式的根和多项式的因式。

多项式

多项式是一个数学表达式，或者说是代数表达式，它包含一个或多个具有非零系数的项。多项式的首项是多项式的第一项。

如果多项式的第一项具有最高次幂，并且后续项的次幂按变量指数的降序排列，以及常数项，则该多项式称为**标准多项式**。

多项式的通式为：

$\mathrm{P(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{j=0}^k\:\:b_{j}x^{j}\:=\:b_{0}x^{0}\:+\:b_{1}x^{1}\:+\:b_{2}x^{2}\:+\:...........\:+\:b_{k\:-\:2}x^{k\:-\:2}\:+\:b_{k\:-\:1}x^{k\:-\:1}\:+\:b_{k}x^{k}}$

根据多项式的次数和项数，多项式分为两种类型。

根据多项式的次数，它们主要分为七种类型，即六次多项式、五次多项式、四次多项式、三次多项式、二次多项式、一次多项式、零多项式和常数多项式。

多项式类型	多项式次数	例子
六次多项式	6	$\mathrm{5x^{6}\:+\:3x^{5}\:-\:x^{4}\:-\:7}$
五次多项式	5	$\mathrm{x^{5}\:-\:2x^{4}\:+\:x^{3}\:+\:9x^{2}\:-\:32}$
四次多项式	4	$\mathrm{42x^{4}\:+\:23x^{3}\:+\:12x^{2}\:-\:11x\:-\:20}$
三次多项式	3	$\mathrm{9x^{3}\:+\:15x^{2}\:+\:8x\:-\:8}$
二次多项式	2	$\mathrm{7x^{2}\:-\:x\:-\:21}$
一次多项式	1	$\mathrm{6x\:+\:42}$
零多项式	0	0
常数多项式	0	$\mathrm{23x^{0}}$

根据多项式中的项数，它们主要分为四种类型，即四项式、三项式、二项式和单项式。

多项式类型	项数	例子
四项式	4	$\mathrm{7x^{3}\:+\:x^{2}\:+\:x\:-\:5}$
三项式	3	$\mathrm{6x^{4}\:+\:12x\:+\:78}$
二项式	2	$\mathrm{4x^{2}\:-\:120}$
单项式	1	$\mathrm{45x\:(或)\:15x\:+\:30x}$

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多项式的根

多项式𝑃(𝑥)的解称为多项式的根或零点。

在多项式$\mathrm{p(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{j=0}^k\:\:b_{j}x^{j}}$中，多项式𝑃(𝑥)的根只是变量𝑏的值，对于该值，多项式

简单来说，如果𝑏是多项式𝑃(𝑥)的根，则𝑃(𝑏)等于零。求一次多项式$\mathrm{P(x)\:=\:bx\:+\:d}$的根的公式为：

$$\mathrm{x\:=\:-\:\frac{d}{b}}$$

求二次多项式$\mathrm{P(x)\:=\:bx^{2}\:+\:cx\:+\:d}$的根的公式为：

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-c\:\pm \sqrt{c^{2}\:-\:4bd}}{2b}}$$

因此，可以使用公式求得多项式𝑥的根。

多项式的因式

将多项式的根写成次数为一的因式形式，称为多项式的因式。

如果4是多项式𝑃(𝑥)的根，则𝑃(𝑥)的因式写成$\mathrm{x\:+\:4}$

据说多项式的次数和多项式的因式个数相等。

例题

1. 多项式$\mathrm{P(x)\:=\:x^{2}\:+\:12x\:+\:32}$，求𝑃(𝑥)的根。

解：

令$\mathrm{P(x)\:=\:0}$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:12x\:+\:32\:=\:0}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-c\:\pm \sqrt{c^{2}\:-\:4bd}}{2b}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-12\:\pm \sqrt{(12)^{2}\:-\:4(1)(32)}}{2(1)}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-12\:\pm \sqrt{144\:-\:128}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-12\:\pm \:4}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-12\:+\:4}{2}\:,\:\frac{-12\:-\:4}{2}}$$

$$\mathrm{\frac{-8}{2}\:,\:\frac{-16}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:-4\:,\:-8}$$

𝑥的值为−4和−8。

因此，给定多项式$\mathrm{P(x)}$的根为−4和−8。

2. 如果给定一个二次多项式$\mathrm{P(x)\:=\:x^{2}\:+\:7x\:+\:10}$，求$\mathrm{P(x)}$的因式。

解：

令𝑃(𝑥) = 0

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:7x\:+\:10\:=\:0}$$

$$\mathrm{\mathrm{x^{2}+\:5x\:+\:2x\:+\:10\:=\:0}}$$

$$\mathrm{x(x\:+\:5)\:+\:2(x\:+\:5)\:=\:0}$$

$$\mathrm{(x\:+\:5)(x\:+\:2)\:=\:0}$$

因此，给定多项式$\mathrm{P(x)}$的因式为$\mathrm{(x\:+\:5)}$和$\mathrm{(x\:+\:2)}$。

在给定的多项式中，多项式的次数和多项式的因式个数为2。

3. 多项式$\mathrm{P(x)\:=\:x^{2}\:+\:16x\:+\:63\:=\:0}$，求𝑃(𝑥)的根。

解：

令𝑃(𝑥) = 0

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:16x\:+\:63\:=\:0}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-c\:\pm \sqrt{c^{2}\:-\:4bd}}{2b}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:\pm \sqrt{(16)^{2}\:-\:4(1)(63)}}{2(1)}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:\pm \sqrt{256\:-\:252}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:\pm \sqrt{4}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:\pm \:2}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-16\:+\:2}{2}\:,\:\frac{-16\:-\:2}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-14}{2}\:,\:\frac{-18}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:-7\:,\:-9}$$

𝑥的值为−7和−9。

因此，给定多项式𝑃(𝑥)的根为−7和−9。

4. 如果多项式为$\mathrm{22x\:-\:44}$，求𝑃(𝑥)的根。

解：

令𝑃(𝑥) = 0

$$\mathrm{22x\:-\:44\:=\:0}$$

$$\mathrm{22x\:=\:44}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{44}{22}}$$

𝑥 = 2是给定多项式的根。

5. 多项式$\mathrm{P(x)\:=\:x^{2}\:+\:15x\:+\:54}$，求𝑃(𝑥)的因式。

解：

令𝑃(𝑥) = 0

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:15x\:+\:54\:=\:0}$$

$$\mathrm{x^{2}\:+\:9x\:+\:6x\:+\:54\:=\:0}$$

$$\mathrm{x(x\:+\:9)\:+\:6(x\:+\:9)\:=\:0}$$

$$\mathrm{(x\:+\:9)(x\:+\:6)\:=\:0}$$

因此，给定多项式$\mathrm{P(x)}$的因式为$\mathrm{(x\:+\:9)}$和$\mathrm{(x\:+\:6)}$。

6. 确定给定多项式的类型：

• $\mathrm{3x^{5}\:-\:66}$

• $\mathrm{7x^{6}\:+\:12x^{3}\:+\:8x^{2}\:-\:54}$

• $\mathrm{x^{2}\:-\:11x\:-\:30}$

• $\mathrm{32x\:+\:4}$

解：

A	$\mathrm{3x^{5}\:-\:66}$	五次多项式
B	$\mathrm{7x^{6}\:+\:12x^{3}\:+\:8x^{2}\:-\:54}$	六次多项式
C	$\mathrm{x^{2}\:-\:11x\:-\:30}$	二次多项式
D	$\mathrm{32x\:+\:4}$	一次多项式

结论

• 多项式是一个或多个具有非零系数的项的代数表达式。

• 如果多项式𝑃(𝑥)的根为b，则𝑃(𝑏)等于零。

• 多项式𝑃(𝑥)的解称为多项式的根或零点。

• 多项式的次数是多项式中任何变量的最高幂。

• 多项式的次数和多项式的因式个数相等。

常见问题

1. 给出多项式的一些现实生活中的应用？

• 多项式用于建筑物的建造。

• 它们广泛用于安全措施，例如预测互联网和道路上的交通模式。

• 借助多项式可以找到某些细菌的生长情况。

• 它们可以应用于经济生产。

• 它们的贡献包括股票交易、市场营销和金融。

2. 多项式在科学中的应用是什么？

• 用于确定人和动物的种群增长。

• 用于发现动物的出生率和死亡率。

• 计算森林中砍伐的树木数量，并通过重新种植来平衡。

• 管理农业用地。

• 确定某些分子组成。

3. 谁被称为多项式的鼻祖？

希腊数学家亚历山大的丢番图被称为多项式的鼻祖。他是名为《算术》的一系列书籍的作者。他的作品处理求解代数方程。他的一些贡献包括丢番图方程和丢番图逼近。

4. 什么是代数表达式？

包含变量和常数以及数学运算的表达式称为代数表达式。也可以说它们是由整数变量和常数构成的。代数项构成代数表达式。

例如，3x² - 7x + 9

5. 多项式的因式分解是什么意思？

如果将一个多项式分解成其因式的乘积，或者说是较小多项式的乘积，则此过程称为多项式的因式分解。通过多项式的因式分解，我们可以找到多项式的因式。