级数 5+55+555+... 的前 n 项和

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5, 55, 555, ... 是一个可以从等比数列推导出的数列，因此可以使用等比数列公式进行计算。

等比数列是一种数列，其中每一项都是前一项乘以某个特定项（比率）的结果。我们将利用等比数列的知识来求出给定数列的和。

问题陈述

给定一个数字 n，求数列 5+55+555+... 的前 n 项和。

示例

Input −  N = 3
Output − 595

解释

5 + 5 + 555 = 595.

Input −  N = 5
Output − 61716

解释

5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 61716.

解决方案

Let sum = 5 + 55 + 555 +… n terms. 
This is not GP, but we can relate it to GP in the following manner:
= 5(1) + 5(11) + 5(111) + … n terms
Taking 5 common:
= 5[1 + 11 + 111 + …n terms]
Divide and multiply by 9:
= 5/9[9 + 99 + 999 + … n terms] 
= 5/9[(10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + … n terms] 
= 5/9[(10^1 – 1) + (10^2 – 1) + (10^3 – 1) + … n terms] 
= 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – (1 + 1 + … n times)] 
= 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – n] 
We will solve (10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms) as following:
We can observe that it is a GP, where the first term a = 10.
And the common ratio r = 10^2/10 = 10.
Hence, the GP formula:
Sum of n terms = a(r^n-1) / (r-1) (where r>1)
Putting the values of r and a:
10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms = 10(10^n-1)/(10-1)
Substituting the values:
 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – n]  
= 5/9[10(10n-1)/(10-1) – n] 
= 50/81(10n – 1) – 5n/9

我们可以使用上述公式来编写解决方案的程序。

伪代码

main()

• 将 n 初始化为 5。

• 函数调用：sumOfSeries(n)

sumOfSeries(int n)

• product = 0.6172 * (pow(10,n)-1) - 0.55 * n

• 打印 product

示例

下面是一个 C++ 程序，用于求解数列 5 + 55 + 555.....n 的和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to calculate the
// the sum of series
int sumOfSeries(int n){
   int product = 0.6172 * (pow(10,n)-1) - 0.55 * n;
   return product;
}
int main(){
   //Input
   int n = 5;
   //Function call to calculate the sum of series
   cout << "Given Series; 5 + 55 + 555 + ..." << endl;
   int answer = sumOfSeries(n);
   //Print the answer
   cout << "Sum up to 5 terms: " << answer<< endl;
   return 0;
}

输出

Given Series; 5 + 55 + 555 + ...
Sum up to 5 terms: 61716

分析

时间复杂度 − O(log n)。

程序的时间复杂度是对数级的，因为使用了幂函数。

空间复杂度 − O(1)

空间复杂度是常数级的，因为没有使用额外的空间。

结论

在本文中，我们讨论了求解数列 5+55+555+… 的前 n 项和的问题。输入中给出了 N。

我们使用等比数列求解了该数列，并编写了伪代码和 C++ 程序。