MATLAB 中最多“n”次谐波的傅里叶级数实现

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在数学中，最多“n”次谐波的傅里叶级数是一种通过正弦和余弦函数之和来逼近周期函数的技术。我们可以使用 MATLAB 编程来实现最多“n”次谐波的傅里叶级数。在讨论这种实现之前，让我们首先概述一下最多“n”次谐波的傅里叶级数。

什么是最多“n”次谐波的傅里叶级数？

在数学中，傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦函数（正弦和余弦函数）之和的方法。

最多“n”次谐波的傅里叶级数是一种将周期函数近似为正弦信号之和的方法，其中“n”是傅里叶级数表达式中包含的谐波或项数。

从数学上讲，最多“n”次谐波的傅里叶级数表示如下：

$$\mathrm{x(t) \: = \: \frac{a_{0}}{2} \: + \: \sum_{k=1}^{n}[a_{k} \cos(2\pi k\: ft)\: + \: b_{k}\sin(2\pi k\: ft)]}$$

这里，x(t) 是给定的周期函数，f 是函数 x(t) 的基频，$\mathrm{a_{0}}$，$\mathrm{a_{k}}$ 和 $\mathrm{b_{k}}$ 是傅里叶级数系数。

在这个表达式中，“n”表示级数中谐波或项的个数。我们可以通过增加“n”的值来向级数中添加更多谐波。

这就是关于最多“n”次谐波的傅里叶级数的基础知识。现在让我们讨论如何在 MATLAB 中实现它。

如何在 MATLAB 中实现最多“n”次谐波的傅里叶级数

在 MATLAB 中，实现最多“n”次谐波的傅里叶级数是一个非常简单的过程。

以下是如何在 MATLAB 中实现最多“n”次谐波的傅里叶级数的分步过程：

• 步骤 1 - 定义一个需要计算其最多“n”次谐波傅里叶级数的输入函数。

• 步骤 2 - 计算傅里叶级数系数 $\mathrm{a_{0}}$，$\mathrm{a_{n}}$ 和 $\mathrm{b_{n}}$。

• 步骤 3 - 计算最多“n”次谐波的傅里叶级数。为此，我们可以使用循环机制。

• 步骤 4 - 绘制原始信号及其傅里叶级数以进行视觉比较。

示例

让我们通过一个示例程序来了解如何在 MATLAB 中实现最多“n”次谐波的傅里叶级数。

% MATLAB code to implement Fourier series up to "n" harmonics
% Define sample single parameters
T = 1;	% Period of the input signal
f = 1/T;	% Fundamental frequency of input signal
n = 7;	% Number of harmonics

% Create a time vector for the signal
t = 0:0.001:5*T;

% Define a function whose Fourier series is to be found
x = @(t) 0.6 + 0.4*cos(2*pi*1/T*t) + 0.2*sin(2*pi*2/T*t) + 0.3*cos(2*pi*4/T*t);

% Calculate the Fourier series coefficients
a0 = integral(@(t) x(t), 0, T) / T;
an = @(k) integral(@(t) x(t).*cos(2*pi*k*f*t), 0, T) * 2 / T;
bn = @(k) integral(@(t) x(t).*sin(2*pi*k*f*t), 0, T) * 2 / T;

% Calculate the Fourier series up to n harmonics
Fs = a0/2;
for k = 1 : n
   Fs = Fs + an(k)*cos(2*pi*k*f*t) + bn(k)*sin(2*pi*k*f*t);
end

% Plot the original signal and its Fourier series up to n harmonics
figure;
plot(t, x(t), 'r', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'Original Signal');
hold on;

plot(t, Fs, 'g', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'Fourier Series');

legend('Location', 'best');
xlabel('Time');
ylabel('Amplitude');

title('Fourier Series up to n Harmonics');
grid on;
hold off;

输出

运行此代码时，它将生成以下绘图：

代码解释

在这个例子中，我们首先定义一些信号参数，其中“T”是输入信号的周期，“f”是输入信号的基频，“n”是傅里叶级数计算中考虑的谐波数。

然后，我们创建一个从 0 到 5T 的时间向量来绘制信号。

之后，我们定义一个输入信号“x”，其最多“n”次谐波的傅里叶级数需要计算。

接下来，我们计算傅里叶级数的系数，直流分量 $\mathrm{(a_{0})}$，余弦项系数 $\mathrm{(a_{n})}$ 和正弦项系数 $\mathrm{(b_{n})}$。

然后，我们用直流分量初始化傅里叶级数“Fs”。之后，我们定义一个循环，将傅里叶级数的项添加到每个谐波，直到“n”计算输入信号的傅里叶级数。

最后，我们绘制输入信号及其最多“n”次谐波的傅里叶级数。

结论

总之，最多“n”次谐波的傅里叶级数是一种将周期信号表示为具有“n”项的正弦和余弦函数之和的方法。我们可以使用 MATLAB 编程来计算函数最多“n”次谐波的傅里叶级数。

在本教程中，我解释了在 MATLAB 中实现最多“n”次谐波的傅里叶级数中涉及的步骤以及一个示例程序。示例程序实际上演示了计算周期函数最多“n”次谐波的傅里叶级数的过程。