什么是傅里叶频谱？ - 理论与示例

周期函数 $x(t)$ 的傅里叶系数与频率 (ω) 之间绘制的图形称为周期信号的**傅里叶频谱**。

周期函数的傅里叶频谱有两个部分 -

• 幅度谱 - 周期信号的幅度谱定义为傅里叶系数的幅度与频率的曲线图。

• 相位谱 - 傅里叶系数的相位与频率的曲线图称为信号的相位谱。

幅度谱和相位谱一起称为周期信号 $x(t)$ 的傅里叶频率谱。这种周期信号的表示方法称为频域表示。

傅里叶频率谱只存在于离散频率处，即在 ，其中，n = 0, 1, 2, 3,… 。因此，傅里叶频率谱也称为离散谱或线谱。傅里叶频率谱的包络仅取决于脉冲的形状，而不取决于重复周期。

周期函数 $x(t)$ 的三角傅里叶级数表示包含正弦和余弦项，以及正负幅度系数 $a_{n}$ 和 $b_{n}$，但没有相位角。

单边谱

周期信号 x(t) 的余弦傅里叶级数表示仅具有正幅度系数 $A_{n}$ 和相位角 $\theta_{n}$。因此，我们可以绘制幅度谱（$A_{n}$ 与 $\omega$）和相位谱（$\theta_{n}$ 与 $\omega$）。

在余弦表示中，傅里叶系数仅存在于正频率处。因此，该频谱称为单边谱。

图-1 表示从 0 到 ∞ 扩展的三角（余弦）傅里叶级数的频谱，产生单边谱，因为此表示中不存在负频率。

双边谱

周期函数 $x(t)$ 的指数傅里叶级数表示具有幅度系数 $C_{n}$，它们是复数，可以用幅度和相位表示。因此，我们可以绘制幅度谱（$|C_{n}|$ 与 $\omega$）和相位谱（$\angle C_{n}\:versus\:\omega$）。

在指数表示中，可以绘制正负频率的频谱。因此，该频谱称为双边谱。

图-2 表示从 (−∞ 到 ∞) 扩展的复指数傅里叶级数的频谱，产生双边谱。

此外，如果 $C_{n}$ 是复数，则

$$\mathrm{C_{n}=|C_{n}|e^{j\theta_{n}}}$$

$$\mathrm{C_{-n}=|C_{n}|e^{-j\theta_{n}}}$$

以及

$$\mathrm{C_{n}=|C_{-n}|}$$

因此，指数傅里叶级数的幅度谱关于通过原点的垂直轴对称，即幅度谱表现出偶对称，而相位谱关于通过原点的垂直轴反对称，即相位谱表现出奇对称。

此外，当周期信号 $x(t)$ 为实数时，则

$$\mathrm{C_{-n}=C_{n}^{*}}$$

即 $C_{-n}$ 是指数系数 $C_{n}$ 的复共轭。

数值示例

周期函数的指数傅里叶级数由下式给出：

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}\frac{2A}{\pi(1-4n^{2})}e^{j2nt}=\frac{2A}{\pi}+\frac{2A}{\pi}\sum_{\substack{n=-\infty\ n eq 0}}^{\infty}\left ( \frac{e^{j2nt}}{1-4n^{2}} \right ) }$$

绘制给定函数的频率谱。

解答

给定的指数傅里叶级数为：

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}\frac{2A}{\pi(1-4n^{2})}e^{j2nt}=\frac{2A}{\pi}+\frac{2A}{\pi}\sum_{\substack{n=-\infty\ n eq 0}}^{\infty}\left ( \frac{e^{j2nt}}{1-4n^{2}} \right )}$$

这里，指数傅里叶系数为 -

$$\mathrm{C_{0}=\frac{2A}{\pi}\:\:and\:\:C_{n}=\frac{2A}{\pi(1-4n^{2})}}$$

因此，

$$\mathrm{C_{1}=C_{-1}=\frac{2A}{\pi[1-4(1)^{2}]}=-\frac{2A}{3\pi}}$$

$$\mathrm{C_{2}=C_{-2}=\frac{2A}{\pi[1-4(2)^{2}]}=-\frac{2A}{15\pi}}$$

$$\mathrm{C_{3}=C_{-3}=\frac{2A}{\pi[1-4(3)^{2}]}=-\frac{2A}{35\pi}}$$

$$\mathrm{C_{4}=C_{-4}=\frac{2A}{\pi[1-4(4)^{2}]}=-\frac{2A}{63\pi}}$$

等等…

因此，给定函数的频率谱可以绘制如图-3 所示。

Manish Kumar Saini

更新于： 2021-12-06

12K+ 次查看

开启您的 职业生涯

通过完成课程获得认证

立即开始