心理学中正态概率分布技术的应用

“正态”一词的字面意思是平均。在心理学研究、社会学研究和教学中，那些在资格和特征方面能够达到特定固定水平的人被称为正态。同时，那些高于或低于这个点的人是非正态的。大自然已经足够慷慨地将大多数属性（如体重、身高、智力等）分配得相当均匀。因此，我们大多数人拥有平均体重、身高、智力和此类属性。相当一部分人明显偏离平均水平，无论高于或低于。这同样适用于从随机选择的样本或人群中通过考试、调查和心理学、社会学和教育实验收集的信息，关于成绩分数、智商分数、评分分数等。如果将这种分布绘制在图表纸上，就会形成一条有趣的典型曲线，类似于钟形的垂直横截面。这种钟形曲线称为正态曲线。

拉普拉斯和高斯（1777-1855）独立推导出了这条曲线。他们研究了物理学和天文学中的实验误差。他们发现结果误差分布是正态的——因此，误差曲线被称为正态误差曲线或仅仅是误差曲线。

什么是正态概率分布？

根据概率原理，它给出了连续变量的可能得分分布。一位名叫亚伯拉罕·棣莫弗的数学家发展了这条曲线，它具有单边的钟形，具有双侧对称性，并且建立在概率原理的基础上。概率的根本原理建立在事件发生的可能性上，正态曲线描绘了这一原理。

计算

将连续变量得分（X）的频率（f）绘制在一个相当大的样本中观察到的频率，相对于其对应的得分（X），得到正态分布曲线。

如果将相对频率（fln）（通过将每个观察到的频率除以总频率n获得）绘制在其对应的标准分数（z分数）上，则可以得到类似形状的分布，这些标准分数是从原始X分数计算得出的，因为z分数是X分数的线性变换；然而，这种分布被称为正态分布，因为它的Y纵坐标提供了Z分数的相对频率或概率，以及伴随的X分数，而不是观察到的频率。

描述正态概率分布的通用数学方程如下所示

$\mathrm{y = \frac{n}{\sigma\sqrt{2\Pi}}e^\frac{−x^{2}}{2\sigma^{2}}}$

其中，

$\mathrm{y}$ = 频率

$\mathrm{n}$ = 观察次数

$\mathrm{\sigma}$ = 分布的标准差

$\mathrm{\Pi}$ = 3.1416（约）

$\mathrm{e}$ = 2.718（约），奈皮尔对数的底数

$\mathrm{x}$ = 测量值与平均值的偏差

示例

样本量为1000例。测试分数的平均值为14.5，标准差为2.5。假设分布为正态，计算12-16分数段中个体的数量。

解答

原始分数12和16都需要转换为z分数。

原始分数12对应的z分数 = $\mathrm{\frac{X − M}{\sigma}}$

= (12−14.5)/2.5

= −2.5/2.5 = −1$\sigma$

原始分数16对应的z分数 = (16 − 14.5)/2.5 = 1.5/2.5

= 0.6 $\sigma$

根据正态曲线表，2257（10000中的），即22.57％的案例位于平均值和0.6 $\sigma$之间。类似地，在−1 $\sigma$和平均值之间，有3413，即34.13％的案例。这样，可以很容易地得出结论，在1000人中，有22.57 + 34.13 = 56.7％或567人的分数在12-16范围内。

性质

正态概率曲线是双侧对称的。正态曲线围绕称为纵坐标的垂直轴双侧对称。50％的曲线位于最大中心纵坐标的左侧，另外50％位于右侧。关于曲线中心点处的纵坐标的对称性表明，曲线一侧的曲线斜率、形状和大小与另一侧相同。下图显示了中心中间点的左右两半。

平均数 = 中位数 = 众数

正态概率曲线是单峰的。曲线只有一个顶点，使其成为单峰的，并且只能有一个众数。
最大纵坐标位于中心附近。纵坐标的高度始终在曲线的中心或中点达到峰值，在单位正态曲线上等于0.3989。
正态概率曲线渐近于X轴。曲线的高度在远离中点两端的逐渐减小，渐近地接近X轴，但永远不会接触X轴。因此，它的末端延伸到负无穷大（$− \infty$）和正无穷大（$+ \infty$）。
曲线高度均匀下降。从顶点向任一方向，曲线的高度都对称下降。
拐点出现在±1个标准差（$\pm \: 1 \: \sigma$）处。正态曲线方向从凸到凹的变化发生在一个称为拐点的地方。从两个拐点垂直绘制到X轴的线在平均值上下一个标准差单位的距离处接触中心点。
正态曲线总面积在两个拐点内的百分比是固定的。大约68.26％的总面积位于平均值±1个标准差（$\pm$ 1 $\sigma$）单位的范围内。