五边形的面积

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引言

五边形的面积是指五边形边界所包围的区域。具有五条直边的多边形称为五边形。大多数数学课堂作业都包括正五边形，它有五条相等的边。根据已知信息量的多少，求面积通常有两种方法。五边形五条边所包围的区域称为五边形的面积。五边形是一个只有两个维度的五边形。它的名称来源于希腊语“Penta”（意为“五”）和“gon”（意为“角”）。在本教程中，我们将通过已解决的示例和练习题学习如何计算五边形的面积。

五边形

在几何学中，五边形是任何五边形或五角形（源于希腊语 pente，意为五，gonia，意为角）。在一个简单的五边形中，内角之和为 540°。五边形可以是简单的，也可以是自相交的。五角星是一个自相交的正五边形（有时称为星形五边形）。在下图中，ABCDE 是一个不规则五边形，FGHIJ 是一个正五边形。

五边形的面积

• 五边形面积指的是五边形各边围成的区域。根据已知尺寸的不同，可以使用不同的方法进行计算。

• 五边形的类型也会影响计算方法。例如，如果是正五边形，可以使用一个公式计算面积；但如果是负五边形，则必须将其分割成多个多边形，然后将它们的面积相加，才能得到五边形的面积。

• 计算五边形面积所用的公式取决于五边形的类型。

• 常用的正五边形面积公式是：

  $$五边形面积 = \frac{1}{2}×pa$$

  这里，“p”代表五边形的周长，“a”代表其心距。在下图中可以看到五边形的心距“a”和边长“s”。

例题

求边长为 15 个单位，心距为 4 个单位的正五边形的面积。

答案

已知 s=15 和心距=4

使用上述心距公式，我们可以计算正五边形的面积如下：

$$五边形面积 = \frac{1}{2}×pa$$

我们先计算周长：p=5s=5(15)=75 平方单位。

因此，

$$五边形面积 = \frac{1}{2}×75×4=75×2=150 平方单位$$

• 如果只知道边长“s”，也可以计算正五边形的面积。计算正五边形面积的公式为：$\mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) s^{2}}}$，其中 s 是正五边形一边的长度。

例题

求边长为 5 个单位的五边形的面积。

答案

已知：

s=5 个单位

因此，使用五边形面积公式，我们得到：

$$ \mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) s^{2}}} $$

$$ \mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) 5^{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) 25}=\frac{25}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\:平方单位} $$

• 不规则五边形的面积可以通过将其分割成较小的多边形来计算。然后计算每个多边形的面积，并将它们加起来，得到五边形的面积。

已解决的例子

1) 计算以下不规则五边形的面积

答案

注意，在五边形 ABCDE 中，三角形 ABC 是一个直角三角形，四边形 BEDC 是一个矩形。

因此，五边形的面积是这两个区域面积之和，即三角形 ABC 和矩形 BEDC 面积之和。

注意 $\mathrm{a(ΔABC)=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×3×4=6\: 平方单位}$

$$ \mathrm{a(BEDC)=3×BC=3×5=15\: 平方单位} $$

因此，五边形 ABCDE 的面积为：

$$ \mathrm{a(ABCDE)=6+15=21\: 平方单位} $$

2) 求边长为 8 个单位的五边形的面积。

答案

已知：

s=8 个单位

因此，使用五边形面积公式，我们得到：

$$ \mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) s^{2}}} $$

$$ \mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) 8^{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) 64}=\frac{64}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\:平方单位} $$

3) 求边长为 20 个单位，心距为 6 个单位的正五边形的面积。

答案

已知 s=20 和心距=6

使用上述心距公式，我们可以计算正五边形的面积如下：

五边形面积 =$\mathrm{\frac{1}{2}×pa}$

我们先计算周长：p=5s=5(20)=100 个单位。

因此，

五边形面积 =$\mathrm{\frac{1}{2}\times 100 \times 6=100\times 3=300\: 平方单位}$

4) 求边长为 13 个单位，心距为 6 个单位的正五边形的面积。

答案

已知 s=13 和心距=6

使用上述心距公式，我们可以计算正五边形的面积如下：

五边形面积 =$\mathrm{\frac{1}{2}×pa}$

我们先计算周长：p=5s=5(13)=65 个单位。

因此，

五边形面积 =$\mathrm{\frac{1}{2}\times 65 \times 6=65 \times 3=195\: 平方单位}$

5) 计算边长为 11 个单位的五边形的面积。

答案

已知：

s=11 个单位

因此，使用五边形面积公式，我们得到：

$$ \mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) s^{2}}} $$

$$ \mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) 11^{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) 121}=\frac{121}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\:平方单位} $$

6) 计算边长为 17 个单位的五边形的面积。

答案

已知：

s=17 个单位

因此，使用五边形面积公式，我们得到：

$$ \mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) s^{2}}} $$

$$ \mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) 17^{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) 289}=\frac{289}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\:平方单位} $$

结论

• 五边形是一个有 5 条边和 5 个角的多边形。

• 它可以是正五边形或不规则五边形。

• 五边形内角和为 540 度。

• 五边形面积 =$\mathrm{\frac{1}{2}×pa}$（已知五边形心距）。

• $\mathrm{A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}) s^{2}}}$（已知正五边形边长）。

常见问题

1. 五边形的所有角都相同吗？

正五边形有五条相等的边和五个相等的角。因此，可以使用以下公式计算正五边形的内角。

2. 五边形有多少种不同类型？

五边形是一种几何图形，具有五条边和五个角。“Penta”代表五，“gon”代表角。五边形是多边形的一种。

3. 五边形总是多边形吗？

五边形有五条边和五个角。它是一个多边形。多边形是具有封闭直边和角的形状。存在正多边形和不规则多边形，包括五边形。

4. 五边形有多少个角？

五边形有五个内角。

5. 五边形可能是凹的吗？

五边形和其他多边形可以是凸的或凹的。如果五边形或多边形的所有内角都小于 180°，则它是凸的。如果一个或多个内角大于 180°，则它是凹的。凸五边形总是正五边形。

6. 五边形可能是凸的吗？

五边形和其他多边形可以是凸的或凹的。如果五边形或多边形的所有内角都小于 180°，则它是凸的。如果一个或多个内角大于 180°，则它是凹的。凸五边形总是正五边形。

7. 什么是五边形的心距？

心距是从五边形的中心到一边的线段，并且与该边成 90 度直角。