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已知：\( x+\frac{1}{x}=\sqrt{5} \) 求解：我们需要求 \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 和 \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \) 的值。解法：我们知道，$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 因此，$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$ 两边平方，得到，$(x+\frac{1}{x})^{2}=(\sqrt{5})^{2}$ $\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=5$ $\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=5$ $\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=5-2=3$ 两边平方，得到，$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=(3)^{2}$ $\Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2\times x^2 \times \frac{1}{x^2}=9$ $\Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=9-2=7$ \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 和 \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \) 的值分别为 3 和 7。阅读更多
已知：$9x^2 + 25y^2 = 181$ 且 $xy = -6$ 求解：我们需要求 $3x + 5y$ 的值。解法：我们知道，$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 因此，$(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + (5y)^2 + 2 \times 3x \times 5y$ $=9x^2 + 25y^2 + 30xy$ $= 181 + 30 \times (-6)$ [因为 $9x^2 + 25y^2 = 181$ 且 $xy = -6$] $= 181 - 180$ $= 1$ $\Rightarrow 3x+5y= \sqrt{1}$ $\Rightarrow 3x+5y= \pm 1$ $3x+5y$ 的值为 $\pm 1$。
已知：\( \frac{1}{7}=0 . \overline{142857} \) 求解：我们需要预测 \( \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} \) 的十进制展开式，而无需进行长除法。解法：\( \frac{1}{7}=0 . \overline{142857} \) 因此，\( \frac{2}{7}=2\times\frac{1}{7}=2\times0 . \overline{142857}=0.\overline{285714} \) \( \frac{3}{7}=3\times\frac{1}{7}=3\times0 . \overline{142857}=0.\overline{428571} \) \( \frac{4}{7}=4\times\frac{1}{7}=4\times0 . \overline{142857}=0.\overline{571428} \) \( \frac{5}{7}=5\times\frac{1}{7}=5\times0 . \overline{142857}=0.\overline{714285} \) \( \frac{6}{7}=6\times\frac{1}{7}=6\times0 . \overline{142857}=0.\overline{857142} \) 另一种方法是研究在计算 $\frac{1}{7}$ 的值时的余数。7)1.0(142857 7------- 30 $\Longrightarrow$ $\frac{3}{7}=0.\overline{428571}$ 28--------- 20 $\Longrightarrow$ $\frac{2}{7}=0.\overline{285714}$ 14----------- 60 $\Longrightarrow$ $\frac{6}{7}=0.\overline{857142}$ 56----------- 40 $\Longrightarrow$ $\frac{4}{7}=0.\overline{571428}$ 35------------ 50 $\Longrightarrow$ $\frac{5}{7}=0.\overline{714285}$ 49-------------- 1
已知：$\frac{432}{10}\times\frac{10}{24}$ 求解：我们需要化简 $\frac{432}{10}\times\frac{10}{24}$。解法：$\frac{432}{10}\times\frac{10}{24}=\frac{432\times10}{10\times24}$$=\frac{24\times8}{24}$$=8$ 因此，$\frac{432}{10}\times\frac{10}{24}=8$。
(a) 甲烷 (CH4) 的分子量 = 12 + 4 = 16 u (b) 乙烷 (C2H6) 的分子量 = 2 x 12 + 6 x 1 = 30 u (c) 乙烯 (C2H4) 的分子量 = 2 x 12 + 4 x 1 = 28 u (d) 乙炔 (C2H2) 的分子量 = 2 x 12 + 2 x 1 = 26 u
(a) 甲醇 (CH3OH) 的分子量 = 1xC + 3xH + 1xO + 1xH = (12 + 3 + 16 + 1)u = 32u (b) 乙醇 (C2H5OH) 的分子量 = 2xC + 5xH + 1xO + 1xH = (24 + 5 + 16 + 1) = 46u
乙酸 (CH3COOH) 的分子量 = 1xC + 3xH + 1xC + 2xO + 1xH = 12 + 3 + 12 + 32 + 1 = 60u
已知：$2x + 3y = 8$ 且 $xy = 2$ 求解：我们需要求 $4x^2 + 9y^2$ 的值。解法：我们知道，$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 因此，$2x + 3y = 8$ 两边平方，得到，$(2x + 3y)^2 = (8)^2$ $(2x)^2 + (3y)^2 + 2 \times 2x \times 3y = 64$ $4x^2 + 9y^2 + 12xy=64$ $4x^2 + 9y^2 =64-12(2)$ $4x^2 + 9y^2 = 64 - 24$ $4x^2 + 9y^2 = 40$ $4x^2+9y^2$ 的值为 40。
已知：$3x - 7y = 10$ 且 $xy = -1$ 求解：我们需要求 $9x^2 + 49y^2$ 的值。解法：我们知道，$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 因此，$3x - 7y = 10$ 两边平方，得到，$(3x - 7y)^2 = (10)^2$ $(3x)^2 + (7y)^2 - 2 \times 3x \times 7y = 100$ $9x^2 + 49y^2 - 42xy=100$ $9x^2 + 49y^2 =100+42(-1)$ $9x^2 + 49y^2 = 100 - 42$ $9x^2 + 49y^2 = 58$ $9x^2+49y^2$ 的值为 58。
已知：\( (\frac{1}{2} a-3 b)(3 b+\frac{1}{2} a)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2}) \) 求解：我们需要化简给定的乘积。解法：我们知道，$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 因此，$(\frac{1}{2} a-3 b)(3 b+\frac{1}{2} a)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})=(\frac{1}{2} a-3 b)(\frac{1}{2} a+3 b)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})$ $= {(\frac{1}{2} a)^{2}-(3 b)^{2}}(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})$ $=(\frac{1}{4} a^{2}-9 b^{2})(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})$ $=(\frac{1}{4} a^{2})^{2}-(9 b^{2})^{2}$ $=\frac{1}{16} a^{4}-81 b^{4}$ 因此，$(\frac{1}{2} a-3 b)(3 b+\frac{1}{2} a)(\frac{1}{4} a^{2}+9 b^{2})=\frac{1}{16} a^{4}-81 b^{4}$。