如果$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$，求$x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}$和$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$的值。

已知

$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$

要求

我们必须找到$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$和$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$的值。

解答

我们知道，

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

因此，

$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$

两边平方，得到，

$(x+\frac{1}{x})^{2}=(\sqrt{5})^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=5$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=5$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=5-2=3$

两边平方，得到，

$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=(3)^{2}$

$\Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2\times x^2 \times \frac{1}{x^2}=9$

$\Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=9-2=7$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ 和 $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$ 的值分别为 $3$ 和 $7$。   

教程点

更新于: 2022年10月10日

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