如果\( x-\frac{1}{x}=5 \)，求
(a) \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \)
(b) \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \)

已知

已知表达式为 $x-\frac{1}{x}=5$。

求解

我们需要求下列值：

a) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$

b) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$。

解： 

a) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$

 $x-\frac{1}{x}=5$

两边平方，

 $(x-\frac{1}{x})^2=(5)^2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} -2.x.\frac{1}{x} = 25$       $[(a-b)^2=a^2+b^2-2ab]$

$x^2 + \frac{1}{x^2} -2=25$

$x^2 + \frac{1}{x^2} =25+2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} =27$。

因此，$x^2 + \frac{1}{x^2}$ 的值为 27。

b) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$

我们知道，$x^2 + \frac{1}{x^2} =27$

两边平方，

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 =(27)^2$

$(x^2)^2 + (\frac{1}{x^2})^2 +2 .x^2.\frac{1}{x^2}=27^2$   $[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]$

$x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 = 729$

$x^4 + \frac{1}{x^4}=729-2$

$x^4 + \frac{1}{x^4}=727$。

因此，$x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值为 727。 

教程点

更新于：2022年10月10日

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