如果 $x - \frac{1}{x} = 3$，求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 和 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。

已知

$x - \frac{1}{x} = 3$

求解

我们要求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 和 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。

解答

已知表达式为 $x - \frac{1}{x} = 3$。我们需要求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 和 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。因此，通过平方已知表达式并使用恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$...................(i) 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(ii)，我们可以求出所需的值。

考虑：

$x - \frac{1}{x} = 3$

两边平方，得到：

$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$                [使用 (ii)]

$x^2-2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=9$

$x^2-2+\frac{1}{x^2}=9$

$x^2+\frac{1}{x^2}=9+2$                     (将 $-2$ 移到右边)

$x^2+\frac{1}{x^2}=11$

现在，

$x^2+\frac{1}{x^2}=11$

两边平方，得到：

$(x^2+\frac{1}{x^2})^2 = (11)^2$                  [使用 (i)]

$x^4+2\times x^2 \times \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}=121$

$x^4+2+\frac{1}{x^4}=121$

$x^4+\frac{1}{x^4}=121-2$                (将 $2$ 移到右边)

$x^4+\frac{1}{x^4}=119$

因此，$x^2+\frac{1}{x^2}$ 的值为 $11$，$x^4+\frac{1}{x^4}$ 的值为 $119$。

Akhileshwar Nani

更新于：2023年4月1日

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