如果 \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=194 \)，求 \( x^{3}+\frac{1}{x^{3}}, x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 和 \( x+\frac{1}{x} \)

已知

\( x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=194 \)

求解

我们需要求出 \( x^{3}+\frac{1}{x^{3}}, x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 和 \( x+\frac{1}{x} \).

解答

$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=194$

两边同时加2，得到：

$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=194+2$

$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=196$

$(x^{2})^{2}+\frac{1}{(x^{2})^{2}}+2\times x^2 \times \frac{1}{x^2}=(14)^{2}$

$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=(14)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14$

类似地，

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14$
两边同时加2，得到：

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=14+2$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=16$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=(4)^{2}$

$(x+\frac{1}{x})^{2}=(4)^{2}$

$\Rightarrow x+\frac{1}{x}=4$

类似地，

$x+\frac{1}{x}=4$

两边同时立方，得到：

$(x+\frac{1}{x})^{3}=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3 \times x \times \frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})$

$(4)^{3}=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3 \times 4$

$64=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+12$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=64-12$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=52$

因此，\( x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=52, x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14 \) 和 \( x+\frac{1}{x}=4 \)。

教程点

更新于：2022年10月10日

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