如果\( x+\frac{1}{x}=3 \)，计算\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}, x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \)和\( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \).

已知

\( x+\frac{1}{x}=3 \)

要求

我们必须计算\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}, x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \)和\( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \).

解答

$x+\frac{1}{x}=3$

两边平方，得到：

$(x+\frac{1}{x})^{2}=(3)^{2}$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=9$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=9-2$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$

类似地，

$x+\frac{1}{x}=3$

两边立方，得到：

$(x+\frac{1}{x})^{3}=(3)^{3}$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\times x \times \frac{1}{x} (x+\frac{1}{x})=27$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3 \times 3=27$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+9=27$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=27-9$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=18$

类似地，

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$

两边平方，得到：

$(x^{2}+\frac{1}{x})^{2}=(7)^{2}$

$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2 \times x^2 \times \frac{1}{x^2}=49$

$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=49-2$

$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=47$

因此，\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7, x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=18 \) 和 \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=47 \).

教程点

更新于：2022年10月10日

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