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法律研究如果 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=18$，求 $x+\frac{1}{x}$ 和 $x-\frac{1}{x}$ 的值。
已知
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$
求解
我们需要求 $x + \frac{1}{x}$ 和 $x - \frac{1}{x}$ 的值。
解题步骤
已知表达式为 $x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$。我们需要求 $x + \frac{1}{x}$ 和 $x - \frac{1}{x}$ 的值。利用恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$...................(i) 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(ii)，我们可以求出所需的值。
现在，
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$
两边同时加上 2，得到：
$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 18+2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \times x \times \frac{1}{x} = 20$ (因为 $2\times x \times \frac{1}{x}=2$)
$(x+\frac{1}{x})^2=20$ [利用 (i)]
两边同时开方，得到：
$x+\frac{1}{x}=\sqrt{20}$
现在，
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$
两边同时减去 2，得到：
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 18-2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \times x \times \frac{1}{x} = 16$ (因为 $2\times x \times \frac{1}{x}=2$)
$(x-\frac{1}{x})^2=16$ [利用 (ii)]
两边同时开方，得到：
$x-\frac{1}{x}=\sqrt{16}$
$x-\frac{1}{x}=4$
因此，$x+\frac{1}{x}$ 的值为 $\sqrt{20}$，$x-\frac{1}{x}$ 的值为 $4$。
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