如果 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=18$，求 $x+\frac{1}{x}$ 和 $x-\frac{1}{x}$ 的值。

已知

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$

求解

我们需要求 $x + \frac{1}{x}$ 和 $x - \frac{1}{x}$ 的值。

解题步骤

已知表达式为 $x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$。我们需要求 $x + \frac{1}{x}$ 和 $x - \frac{1}{x}$ 的值。利用恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$...................(i) 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(ii)，我们可以求出所需的值。

现在，

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$

两边同时加上 2，得到：

$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 18+2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \times x \times \frac{1}{x} = 20$               (因为 $2\times x \times \frac{1}{x}=2$)

$(x+\frac{1}{x})^2=20$                 [利用 (i)]

两边同时开方，得到：

$x+\frac{1}{x}=\sqrt{20}$

现在，

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$

两边同时减去 2，得到：

$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 18-2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \times x \times \frac{1}{x} = 16$               (因为 $2\times x \times \frac{1}{x}=2$)

$(x-\frac{1}{x})^2=16$                 [利用 (ii)]

两边同时开方，得到：

$x-\frac{1}{x}=\sqrt{16}$

$x-\frac{1}{x}=4$

因此，$x+\frac{1}{x}$ 的值为 $\sqrt{20}$，$x-\frac{1}{x}$ 的值为 $4$。

Akhileshwar Nani

更新于： 2023年4月1日

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