如果 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=66$, 求 $x-\frac{1}{x}$ 的值。

给定

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=66$

待做

我们必须求 $x-\frac{1}{x}$ 的值。

解决方案

我们知道，

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

因此，

$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\times x \times \frac{1}{x}$

$\Rightarrow (x-\frac{1}{x})^{2}=66-2$

$\Rightarrow (x-\frac{1}{x})^{2}=64$

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\sqrt{64}$

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\pm 8$

因此， $x-\frac{1}{x}=\pm 8$。

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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