如果\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=51 \)，求\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值。

已知

\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=51 \)

求解

我们需要求\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值。

解答

我们知道：

$(a-b)^3=a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$

因此：

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=51$

$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\times x \times \frac{1}{x}$

$=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$

$=51-2$

$=49$

$=(7)^{2}$

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=7$

两边立方，我们得到：

$(x-\frac{1}{x})^{3}=(7)^{3}$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(x-\frac{1}{x})=343$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3 \times 7=343$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=343+21$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=364$

\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值为364。

教程点

更新于：2022年10月10日

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