如果 \( x+\frac{1}{x}=5 \), 求出 \( x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \) 的值。

已知

\( x+\frac{1}{x}=5 \)

待做

我们需要求出 \( x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \) 的值。

解

我们知道，

$(a+b)^3=a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

因此，

$x+\frac{1}{x}=5$

对两边求立方，我们得到，

$(x+\frac{1}{x})^{3}=(5)^{3}$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\times x \times \frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})=125$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3 \times 5=125$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=125-15$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=110$

因此，$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ 的值为 110。  

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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