如果 $x-\frac{1}{x}=5$，求 $x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ 的值。

已知

$x-\frac{1}{x}=5$

待做

我们必须求出 $x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ 的值。

解答

我们知道,

$(a-b)^3=a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$

因此,

$x-\frac{1}{x}=5$

对两边求立方, 得,

$(x-\frac{1}{x})^{3}=(5)^{3}$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\times x \times \frac{1}{x}(x-\frac{1}{x})=125$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3 \times 5=125$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=125+15$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=140$

因此，$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ 的值为 140。   

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更新于: 2022-10-10

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