如果 \( x-\frac{1}{x}=5 \)，求 \( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \) 的值。
已知
\( x-\frac{1}{x}=5 \)
待做
我们必须求出 \( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \) 的值。
解答
我们知道,
$(a-b)^3=a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$
因此,
$x-\frac{1}{x}=5$
对两边求立方, 得,
$(x-\frac{1}{x})^{3}=(5)^{3}$
$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\times x \times \frac{1}{x}(x-\frac{1}{x})=125$
$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3 \times 5=125$
$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=125+15$
$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=140$
因此，$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ 的值为 140。
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