如果$x=2+\sqrt{3}$，求$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$的值。

已知

$x=2+\sqrt{3}$

要求：

我们要求$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$的值。

解答

我们知道：

分母为${\sqrt{a}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}}$。

分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此，

$x=2+\sqrt{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$

$=\frac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

$=\frac{2-\sqrt{3}}{(2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}$

$=2-\sqrt{3}$

因此，

$x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$

两边立方，我们得到：

$(x+\frac{1}{x})^{3}=(4)^{3}$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(x+\frac{1}{x})=64$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\times 4=64$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=64-12$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=52$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$的值是$52$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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