如果 \( x=3+\sqrt{8} \)，求 \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 的值。

已知

\( x=3+\sqrt{8} \)

要求：

我们要求 \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 的值。

解答

我们知道：

分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。

分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此：

$x=3+\sqrt{8}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{3+\sqrt{8}}$

$=\frac{1(3-\sqrt{8})}{(3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})}$

$=\frac{3-\sqrt{8}}{(3)^{2}-(\sqrt{8})^{2}}$

$=\frac{3-\sqrt{8}}{9-8}$

$=\frac{3-\sqrt{8}}{1}$

$=3-\sqrt{8}$

因此：

$x+\frac{1}{x}=3+\sqrt{8}+3-\sqrt{8}=6$

两边平方，得到：

$(x+\frac{1}{x})^{2}=(6)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2 \times x \times \frac{1}{x}=36$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=36$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=36-2$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=34$

\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 的值为 $34$。 

教程点

更新于：2022年10月10日

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