如果 $x=\frac{1}{3+2 \sqrt{2}},$ 那么 $x-\frac{1}{x}$ 的值是多少？

已知: $x\ =\ \frac{1}{3\ +\ 2\sqrt{2}}$

求解: 这里我们需要求 $x\ -\ \frac{1}{x}$ 的值。

解答:

已知：

$x\ =\ \frac{1}{3\ +\ 2\sqrt{2}}$

$x\ =\ \frac{1}{3\ +\ 2\sqrt{2}} \ \times \ \frac{3\ -\ 2\sqrt{2}}{3\ -\ 2\sqrt{2}}$

$x\ =\ \frac{3\ -\ 2\sqrt{2}}{(3)^{2} \ -\ \left( 2\sqrt{2}\right)^{2}}$

$x\ =\ \frac{3\ -\ 2\sqrt{2}}{9\ -\ 8}$

$\mathbf{x\ =\ 3\ -\ 2\sqrt{2}}$

现在，将 x 的这个值代入 $x\ -\ \frac{1}{x}$

$x\ -\ \frac{1}{x}$

$=\ \left( 3\ -\ 2\sqrt{2}\right) \ -\ \frac{1}{\left( 3\ -\ 2\sqrt{2}\right)}$

$=\ \frac{\left( 3\ -\ 2\sqrt{2}\right)^{2} \ -\ 1}{\left( 3\ -\ 2\sqrt{2}\right)}$

$=\ \frac{\left( 9\ +\ 8\ -\ 12\sqrt{2}\right) \ -\ 1}{\left( 3\ -\ 2\sqrt{2}\right)}$

$=\ \frac{17\ -\ 12\sqrt{2} \ -\ 1}{\left( 3\ -\ 2\sqrt{2}\right)}$

$=\ \frac{16\ -\ 12\sqrt{2}}{3\ -\ 2\sqrt{2}}$

$=\ \frac{16\ -\ 12\sqrt{2}}{3\ -\ 2\sqrt{2}} \ \times \ \frac{3\ +\ 2\sqrt{2}}{3\ +\ 2\sqrt{2}}$

$=\ \frac{\left( 16\ -\ 12\sqrt{2}\right)\left( 3\ +\ 2\sqrt{2}\right)}{( 3)^{2} \ -\ \left( 2\sqrt{2}\right)^{2}}$

$=\ \frac{16\left( 3\ +\ 2\sqrt{2}\right) \ -\ 12\sqrt{2}\left( 3\ +\ 2\sqrt{2}\right)}{9\ -\ 8}$

$=\ 48\ +\ 32\sqrt{2} \ -\ 36\sqrt{2} \ -\ 48$

$=\ \mathbf{-\ 4\sqrt{2}}$

所以，($x\ -\ \frac{1}{x}$)  的值为  $-\ 4\sqrt{2}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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