如果 \( x-\frac{1}{x}=3+2 \sqrt{2} \)，求 \( x^{3}- \frac{1}{x^{3}} \) 的值。

已知

\( x-\frac{1}{x}=3+2 \sqrt{2} \)

要求

我们必须找到 \( x^{3}- \frac{1}{x^{3}} \) 的值。

解答

$x-\frac{1}{x}=3+2 \sqrt{2}$

两边立方，得到：

$(x-\frac{1}{x})^{3}=(3+2 \sqrt{2})^{3}$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\times x \times \frac{1}{x}(x-\frac{1}{x})=(3)^{3}+(2 \sqrt{2})^{3}+3 \times 3 \times 2 \sqrt{2}(3+2 \sqrt{2})$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3 \times(3+2 \sqrt{2})=27+16 \sqrt{2}+18 \sqrt{2}(3+2 \sqrt{2})$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3 \times(3+2 \sqrt{2})=27+16 \sqrt{2}+54 \sqrt{2}+72$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}-3(3+2 \sqrt{2})=99+70 \sqrt{2}$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=99+70 \sqrt{2}+9+6 \sqrt{2}$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=108+76 \sqrt{2}$

$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ 的值为 $108+76 \sqrt{2}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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