如果点$(x+1,\ 2),\ (1,\ x+2)$ 和 $(\frac{1}{x+1},\ \frac{2}{x+1})$ 共线，求 $x$ 的值。

已知：点$(x+1,\ 2),\ (1,\ x+2)$ 和 $(\frac{1}{x+1},\ \frac{2}{x+1})$ 共线。

要求：求 $x$ 的值。

如题所述，点$(x+1,\ 2),\ (1,\ x+2)$ 和 $(\frac{1}{x+1},\ \frac{2}{x+1})$ 共线。

$\therefore$ 直线 $BA$ 的斜率 = 直线 $CB$ 的斜率

$\Rightarrow \frac{x+2-2}{1-x-1}=\frac{\frac{2}{x+1}-( x+2)}{\frac{1}{x+1}-1}$

$\Rightarrow \frac{x}{-x}=\frac{\frac{2-( x+1)( x+2)}{x+1}}{\frac{1-x-1}{x+1}}$

$\Rightarrow -1=\frac{2-( x+1)( x+2)}{-x}$

$\Rightarrow 2-( x+1)( x+2)=x$

$\Rightarrow 2-x^2-2x-x-2=x$

$\Rightarrow -x^2-3x=x$

$\Rightarrow x+x^2+3x=0$

$\Rightarrow x^2+4x=0$

$\Rightarrow x( x+4)=0$

$\Rightarrow x=0,\ x=-4$

因此，当 $x=0,\ -4$ 时，给定的点共线。