如果 $x + \frac{1}{x} = 9$，求 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。

已知

$x + \frac{1}{x} = 9$

要求

我们必须找到 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。

解答

给定的表达式是 $x + \frac{1}{x} = 9$。在这里，我们必须找到 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。因此，通过平方给定的表达式并使用恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，我们可以找到所需的值。

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$...................(i)

让我们考虑：

$x + \frac{1}{x} = 9$

两边平方，我们得到：

$(x + \frac{1}{x})^2 = 9^2$

$x^2+2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=81$             [使用 (i)]

$x^2+2+\frac{1}{x^2}=81$

$x^2+\frac{1}{x^2}=81-2$                        (将 2 移到右边)

$x^2+\frac{1}{x^2}=79$

现在：

$x^2+\frac{1}{x^2}=79$

两边平方，我们得到：

$(x^2+\frac{1}{x^2})^2 = (79)^2$

$x^4+2\times x^2 \times \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}=6241$             [使用 (i)]

$x^4+2+\frac{1}{x^4}=6241$

$x^4+\frac{1}{x^4}=6241-2$                        (将 2 移到右边)

$x^4+\frac{1}{x^4}=6239$

因此，$x^4+\frac{1}{x^4}$ 的值为 6239。

Akhileshwar Nani

更新于：2023年4月1日

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