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法学如果 $x + \frac{1}{x} = 12$，求 $x - \frac{1}{x}$ 的值。
已知
$x + \frac{1}{x} = 12$
要求
我们必须求 $x - \frac{1}{x}$ 的值。
解答
已知表达式为 $x + \frac{1}{x} = 12$。这里，我们需要求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 的值。因此，通过对已知表达式平方并使用恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，我们可以求出所需的值。
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.............(I)
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(II)
让我们考虑：
$x + \frac{1}{x} = 12$
两边平方，我们得到：
$(x + \frac{1}{x})^2 = (12)^2$
$x^2+2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=144$ [使用 (I)]
$x^2+2+\frac{1}{x^2}=144$
$x^2+\frac{1}{x^2}=144-2$ (将 2 移到右边)
$x^2+\frac{1}{x^2}=142$
现在：
$x^2+\frac{1}{x^2}=142$
两边减去 2，我们得到：
$x^2+\frac{1}{x^2}-2=142-2$
$x^2-2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=140$ [因为 $2\times x \times \frac{1}{x}=2$]
$(x-\frac{1}{x})^2=140$ [使用 (II)]
两边开平方，我们得到：
$x-\frac{1}{x}=\sqrt{140}$
因此，$x-\frac{1}{x}$ 的值为 $\sqrt{140}$。
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