如果 $x + \frac{1}{x} = 12$，求 $x - \frac{1}{x}$ 的值。

已知

$x + \frac{1}{x} = 12$

要求

我们必须求 $x - \frac{1}{x}$ 的值。

解答

已知表达式为 $x + \frac{1}{x} = 12$。这里，我们需要求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 的值。因此，通过对已知表达式平方并使用恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，我们可以求出所需的值。

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.............(I)

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(II)

让我们考虑：

$x + \frac{1}{x} = 12$

两边平方，我们得到：

$(x + \frac{1}{x})^2 = (12)^2$

$x^2+2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=144$ [使用 (I)]

$x^2+2+\frac{1}{x^2}=144$

$x^2+\frac{1}{x^2}=144-2$ (将 2 移到右边)

$x^2+\frac{1}{x^2}=142$

现在：

$x^2+\frac{1}{x^2}=142$

两边减去 2，我们得到：

$x^2+\frac{1}{x^2}-2=142-2$

$x^2-2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=140$ [因为 $2\times x \times \frac{1}{x}=2$]

$(x-\frac{1}{x})^2=140$ [使用 (II)]

两边开平方，我们得到：

$x-\frac{1}{x}=\sqrt{140}$

因此，$x-\frac{1}{x}$ 的值为 $\sqrt{140}$。

Akhileshwar Nani

更新于：2023年4月1日

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