你知道$\frac{1}{7}=0 . \overline{142857}$。你能否预测$\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$的小数展开式，而无需进行长除法？如果可以，怎么做？

已知

$\frac{1}{7}=0 . \overline{142857}$

要求

我们必须预测$\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$的小数展开式，而无需进行长除法。

解答

$\frac{1}{7}=0 . \overline{142857}$

因此，

$\frac{2}{7}=2\times\frac{1}{7}=2\times0 . \overline{142857}=0.\overline{285714}$

$\frac{3}{7}=3\times\frac{1}{7}=3\times0 . \overline{142857}=0.\overline{428571}$

$\frac{4}{7}=4\times\frac{1}{7}=4\times0 . \overline{142857}=0.\overline{571428}$

$\frac{5}{7}=5\times\frac{1}{7}=5\times0 . \overline{142857}=0.\overline{714285}$

$\frac{6}{7}=6\times\frac{1}{7}=6\times0 . \overline{142857}=0.\overline{857142}$

另一种方法是研究求解$\frac{1}{7}$时的余数。

7)1.0(142857

     7

-------

     30             $\Longrightarrow$   $\frac{3}{7}=0.\overline{428571}$

     28

---------

       20             $\Longrightarrow$   $\frac{2}{7}=0.\overline{285714}$

       14

-----------

        60             $\Longrightarrow$   $\frac{6}{7}=0.\overline{857142}$

        56

-----------

          40             $\Longrightarrow$   $\frac{4}{7}=0.\overline{571428}$

          35

------------

            50             $\Longrightarrow$   $\frac{5}{7}=0.\overline{714285}$

            49

--------------

              1

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更新于：2022年10月10日

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