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题目：我们需要证明 \( \frac{\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}+\frac{\cot ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}=1 \).
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此， $\frac{\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}+\frac{\cot ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{\tan ^{2} \mathrm{~A}}{\sec ^{2} \mathrm{~A}}+\frac{\cot ^{2} \mathrm{~A}}{\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}}$
$=\frac{\sin ^{2} \mathrm{~A} \times \cos ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}+\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A} \times \sin ^{2} \mathrm{~A}}{\sin ^{2} \mathrm{~A}}$
$=\sin ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}$
$=1$
因此得证。 阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{\cot A-\cos A}{\cot A+\cos A}=\frac{\operatorname{cosec} A-1}{\operatorname{cosec} A+1} \).
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此，让我们考虑左边， $\frac{\cot \mathrm{A}-\cos \mathrm{A}}{\cot \mathrm{A}+\cos \mathrm{A}}=\frac{\frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}-\cos \mathrm{A}}{\frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}+\cos \mathrm{A}}$
$=\frac{\frac{\cos \mathrm{A}-\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}}{\cos \mathrm{A}+\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}$
$=\frac{\cos \mathrm{A}(1-\sin \mathrm{A})}{\cos \mathrm{A}(1+\sin \mathrm{A})}$
$=\frac{1-\sin \mathrm{A}}{1+\sin \mathrm{A}}$
让我们考虑右边， $\frac{\operatorname{cosec} A-1}{\operatorname{cosec} A+1}=\frac{\frac{1}{\sin A}-1}{\frac{1}{\sin A}+1}$
$=\frac{\frac{1-\sin A}{\sin A}}{\frac{1+\sin A}{\sin A}}$
$=\frac{1-\sin A}{1+\sin A}$
这里，左边 = 右边
因此得证。 阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{1+\cos \theta-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}=\cot \theta \).
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此， $\frac{1+\cos \theta-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}=\frac{1-\sin ^{2} \theta+\cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$=\frac{\cos ^{2} \theta+\cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$=\frac{\cos \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$=\frac{\cos \theta(1+\cos \theta)}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$=\cot \theta$
因此得证。 阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta} \).
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此， $\frac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}=\frac{\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}}{\{(1+\cos \theta)-\sin \theta\}\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}}$ (用 $1+\cos \theta+\sin \theta$ 乘以分子和分母)
$=\frac{[(1+\cos \theta)+\sin \theta]^{2}}{(1+\cos \theta)^{2}-\sin ^{2} \theta}$
$=\frac{1+\cos ^{2} \theta+2 \cos \theta+\sin ^{2} \theta+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{1+\cos ^{2} \theta+2 \cos \theta-\sin ^{2} \theta}$
$=\frac{2+2 \cos \theta+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{1+\cos ^{2} \theta+2 \cos \theta-\left(1-\cos ^{2} \theta\right)}$
$=\frac{2(1+\cos \theta)+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{2 \cos ^{2} \theta+2 \cos \theta}$
$=\frac{2(1+\cos \theta)(1+\sin \theta)}{2 \cos \theta(1+\cos \theta)}$
$=\frac{1+\sin ... 阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta} \).
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此， $\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{\tan \theta-1+\sec \theta}{\tan \theta+1-\sec \theta}$ (用 $\cos \theta$ 除以分子和分母)
$=\frac{(\tan \theta+\sec \theta)-1}{(\tan \theta-\sec \theta)+1}$
用 $(\tan \theta-\sec \theta)$ 乘以分子和分母，我们得到：
$=\frac{(\tan \theta+\sec \theta-1)(\tan \theta-\sec \theta)}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$
$=\frac{\left(\tan ^{2} \theta-\sec ^{2} \theta\right)-(\tan \theta-\sec \theta)}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$
$=\frac{-1-\tan \theta+\sec \theta}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$
$=\frac{-(\tan \theta-\sec \theta+1)}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$
$=\frac{-1}{\tan \theta-\sec \theta}$
$=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}$
因此 ... 阅读更多
题目：我们需要证明 \( (\sin \theta+\cos \theta)(\tan \theta+\cot \theta)=\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta \).
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此，$(\sin \theta+\cos \theta)(\tan \theta+\cot \theta)=(\sin \theta+\cos \theta)\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)$
$=(\sin \theta+\cos \theta)\left(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}\right)$
$=(\sin \theta+\cos \theta)(\frac{1}{\sin \theta \cos \theta})$
$=\frac{\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$=\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}$
$= \sec \theta+\cos \theta$
因此得证。 阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1} =\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta \).
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此， $\frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1}=\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{\sin \theta}{\sin \theta}+\frac{1}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}}$ (用 $\sin \theta$ 除以每一项)
$=\frac{\cot \theta-1+\operatorname{cosec} \theta}{\cot \theta+1-\operatorname{cosec} \theta}$
$=\frac{(\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta-1)}{(\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta+1)}$ $=\frac{(\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta-1)(\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta)}{[(\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)+1](\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta)}$ (用 $\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta$ 乘以分子和分母)
$=\frac{(\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta-1)(\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta)}{(\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)(\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta)+\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta}$
$=\frac{(\cot \theta+\operatorname{cosec} \theta-1)(\cot \theta+\operatorname{cosec} ... 阅读更多
待求证：\( \frac{1}{\sec A+\tan A}-\frac{1}{\cos A}=\frac{1}{\cos A}-\frac{1}{\sec A-\tan A} \)解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此， $\frac{1}{\sec A+\tan A}-\frac{1}{\cos A}=\frac{1}{\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}}-\frac{1}{\cos A}$$=\frac{1}{\frac{1+\sin A}{\cos A}}-\frac{1}{\cos A}$$=\frac{\cos A}{1+\sin A}-\frac{1}{\cos A}$$=\frac{\cos ^{2} A-1-\sin A}{\cos A(1+\sin A)}$$=-\left(\frac{1-\cos ^{2} A+\sin A}{\cos A (1+\sin A)}\right)$$=-\frac{\sin ^{2} A+\sin A}{\cos A(1+\sin A)}$$=-\frac{\sin A(1+\sin A)}{\cos A(1+\sin A)}$$=-\frac{\sin A}{\cos A}$$=-\tan A$让我们考虑右边， $\frac{1}{\cos A}-\frac{1}{\sec A-\tan A}=\frac{1}{\cos A}-\frac{1}{\frac{1}{\cos A}-\frac{\sin A}{\cos A}}$$=\frac{1}{\cos A}-\frac{1}{\frac{1-\sin A}{\cos A}}$$=\frac{1}{\cos A}-\frac{\cos A}{1-\sin A}$$=\frac{1-\sin A-\cos ^{2} A}{\cos A(1-\sin A)}$$=\frac{1-\cos ^{2} A-\sin A}{\cos A(1-\sin A)}$$=\frac{\sin ^{2} A-\sin A}{\cos ... 阅读更多
待求证：\( \tan ^{2} A+\cot ^{2} A=\sec ^{2} A \operatorname{cosec}^{2} A-2 \)解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此， $\tan ^{2} \mathrm{~A}+\cot ^{2} \mathrm{~A}=\frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}+\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\sin ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{\sin ^{4} \mathrm{~A}+\cos ^{4} \mathrm{~A}}{\sin ^{2} \mathrm{~A} \cos ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{\left(\sin ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}\right)^{2}-2 \sin ^{2} \mathrm{~A} \cos ^{2} \mathrm{~A}}{\sin ^{2} \mathrm{~A} \cos ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{(1)^{2}-2 \sin ^{2} A \cos ^{2} A}{\sin ^{2} A \cos ^{2} A}$$=\frac{1-2 \sin ^{2} A \cos ^{2} A}{\sin ^{2} A \cos ^{2} A}$$=\frac{1}{\sin ^{2} A \cos ^{2} A}-\frac{2 \sin ... 阅读更多
待求证：\( \frac{\tan A}{1+\sec A}-\frac{\tan A}{1-\sec A}=2 \operatorname{cosec} A \)解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此， $\frac{\tan \mathrm{A}}{1+\sec \mathrm{A}}-\frac{\tan \mathrm{A}}{1-\sec \mathrm{A}}=\frac{\tan \mathrm{A}(1-\sec \mathrm{A}-1-\sec \mathrm{A})}{(1+\sec \mathrm{A})(1-\sec \mathrm{A})}$$=\frac{\tan \mathrm{A}(-2 \sec \mathrm{A})}{\left(1-\sec ^{2} \mathrm{~A}\right)}$$=\frac{2 \tan \mathrm{A}\sec \mathrm{A}}{\left(\sec ^{2} \mathrm{~A}-1\right)}$$=\frac{2 \tan \mathrm{A} \cdot \sec \mathrm{A}}{\tan ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{2 \sec \mathrm{A}}{\tan \mathrm{A}}$$=2\times\frac{1}{\cos A}\times\frac{\cos A}{\sin A}$$=\frac{2}{\sin \mathrm{A}}$$=2 \operatorname{cosec} \mathrm{A}$证毕。 阅读更多