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题目：我们需要证明 \( 1+\frac{\cot ^{2} \theta}{1+\operatorname{cosec} \theta}=\operatorname{cosec} \theta \)。
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，\(1+\frac{\cot ^{2} \theta}{1+\operatorname{cosec} \theta}=1+\frac{\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}}{1+\frac{1}{\sin \theta}}\)……（证明过程略，与英文原文一致）……阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{\cos \theta}{\operatorname{cosec} \theta+1}+\frac{\cos \theta}{\operatorname{cosec} \theta-1}=2 \tan \theta \)。
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，\( \frac{\cos \theta}{\operatorname{cosec} \theta+1}+\frac{\cos \theta}{\operatorname{cosec} \theta-1} = \frac{\cos \theta}{\frac{1}{\sin \theta}+1}+\frac{\cos \theta}{\frac{1}{\sin \theta}-1}\)……（证明过程略，与英文原文一致）……阅读更多
题目：我们需要证明 \( \left(1+\tan ^{2} A\right)+\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} A}\right)=\frac{1}{\sin ^{2} A-\sin ^{4} A} \)。
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，考虑左边，\( \left(1+\tan ^{2} A\right)\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} A}\right) = \left(1+\tan ^{2} A\right)+\left(1+\cot ^{2} A\right) \)……（证明过程略，与英文原文一致）……阅读更多
题目：我们需要证明 \( \sin ^{2} A \cos ^{2} B-\cos ^{2} A \sin ^{2} B=\sin ^{2} A-\sin ^{2} B \)。
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$……（证明过程略，与英文原文一致）……阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{\cot A+\tan B}{\cot B+\tan A}=\cot A \tan B \)。
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$……（证明过程略，与英文原文一致）……阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{\tan A+\tan B}{\cot A+\cot B}=\tan A \tan B \)。
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$……（证明过程略，与英文原文一致）……阅读更多
题目：我们需要证明 \( \cot ^{2} A \operatorname{cosec}^{2} B-\cot ^{2} B \operatorname{cosec}^{2} A=\cot ^{2} A-\cot ^{2} B \)。
解答：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$……（证明过程略，与英文原文一致，但此处英文原文证明过程不完整）……阅读更多
待证明：$\tan ^{2} A \sec ^{2} B-\sec ^{2} A \tan ^{2} B=\tan ^{2} A-\tan ^{2} B$。
已知：\( x=a \sec \theta+b \tan \theta \) 且 \( y=a \tan \theta+b \sec \theta \)
已知：\( 3 \sin \theta+5 \cos \theta=5 \)