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法律研究证明以下恒等式：如果\( x=a \sec \theta+b \tan \theta \) 且 \( y=a \tan \theta+b \sec \theta \)，证明 \( x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2} \)
已知
\( x=a \sec \theta+b \tan \theta \) 和 \( y=a \tan \theta+b \sec \theta \)
要求
我们需要证明 \( x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2} \)。
解答
我们知道，
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
因此，
$x^{2}-y^{2}=(a \sec \theta+b \tan \theta)^2-(a \tan \theta+b \sec \theta)^2$
$=a^2 \sec^2 \theta+b^2 \tan^2 \theta+2ab \sec \theta\tan \theta-(a^2 \tan^2 \theta+b^2 \sec^2 \theta+2ab \tan \theta \sec \theta)$
$=a^2(\sec^2 \theta-\tan^2 \theta)-b^2(\sec^2 \theta-\tan^2 \theta)+2ab \sec \theta\tan \theta-2ab \sec \theta\tan \theta$
$=a^2(1)-b^2(1)$
$=a^2-b^2$
证毕。
更新于: 2022 年 10 月 10 日
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