证明以下恒等式：如果$x=a \sec \theta+b \tan \theta$ 且 $y=a \tan \theta+b \sec \theta$，证明 $x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2}$

已知

$x=a \sec \theta+b \tan \theta$ 和 $y=a \tan \theta+b \sec \theta$

要求

我们需要证明 $x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2}$。

解答

我们知道，

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

因此，

$x^{2}-y^{2}=(a \sec \theta+b \tan \theta)^2-(a \tan \theta+b \sec \theta)^2$

$=a^2 \sec^2 \theta+b^2 \tan^2 \theta+2ab \sec \theta\tan \theta-(a^2 \tan^2 \theta+b^2 \sec^2 \theta+2ab \tan \theta \sec \theta)$

$=a^2(\sec^2 \theta-\tan^2 \theta)-b^2(\sec^2 \theta-\tan^2 \theta)+2ab \sec \theta\tan \theta-2ab \sec \theta\tan \theta$

$=a^2(1)-b^2(1)$

$=a^2-b^2$

证毕。    

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更新于: 2022 年 10 月 10 日

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