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如果xacosθ+ybsinθ=1xasinθybcosθ=1,证明 x2a2+y2b2=2


已知:xacosθ+ybsinθ=1xasinθybcosθ=1

要求:证明 x2a2+y2b2=2

解答

xacosθ+ybsinθ=1 (1)

xasinθybcosθ=1 (2)

将两个方程分别平方后相加,

x2a2cos2θ+y2b2sin2θ+2xyabsinθ.cosθ+x2a2sin2θ+y2b2cos2θ2xyabsinθ.cosθ=2

x2a2(cos2θ+sin2θ)+y2b2(sin2θ+cos2θ)=2

x2a2×1+y2b2×1=2       [ sin2x+cos2x=1 根据三角恒等式 ]

x2a2+y2b2=2

证毕。

更新于: 2022年10月10日

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