如果xacosθ+ybsinθ=1 且 xasinθ−ybcosθ=1,证明 x2a2+y2b2=2。
已知:xacosθ+ybsinθ=1 和 xasinθ−ybcosθ=1
要求:证明 x2a2+y2b2=2。
解答
xacosθ+ybsinθ=1 −−−−−(1)
xasinθ−ybcosθ=1 −−−−−(2)
将两个方程分别平方后相加,
x2a2cos2θ+y2b2sin2θ+2xyabsinθ.cosθ+x2a2sin2θ+y2b2cos2θ−2xyabsinθ.cosθ=2
⇒x2a2(cos2θ+sin2θ)+y2b2(sin2θ+cos2θ)=2
⇒x2a2×1+y2b2×1=2 [ ∵sin2x+cos2x=1 根据三角恒等式 ]
∴x2a2+y2b2=2
证毕。
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