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法律如果\( \cos \theta=\frac{5}{13} \)，求\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值。
已知
\( \cos \theta=\frac{5}{13} \).
要求
我们需要求\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值。
解:
假设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$ 且 $\ cos\ \theta = cos\ A=\frac{5}{13}$。
我们知道，
在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根据勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数的定义，
$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$
这里，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (13)^2=(5)^2+BC^2$
$\Rightarrow BC^2=169-25$
$\Rightarrow BC=\sqrt{144}=12$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{13}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{5}$
这意味着，$\frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta}=\frac{\left(\frac{12}{13}\right)^{2} -\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}{2\left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{5}{13}\right)} \times \frac{1}{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}$
$=\frac{\frac{144-25}{169}}{\frac{120}{169}} \times \frac{25}{144}$
$=\frac{119}{120} \times \frac{25}{144}$
$=\frac{119\times 5}{24\times 144}$
$=\frac{595}{3456}$
\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值为 \( \frac{595}{3456} \).
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