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法学如果\( \sec \theta=\frac{5}{4} \)，求\( \frac{\sin \theta-2 \cos \theta}{\tan \theta-\cot \theta} \)的值。
已知
$sec\ \theta = \frac{5}{4}$。
求解
我们需要求\( \frac{\sin \theta-2 \cos \theta}{\tan \theta-\cot \theta} \)的值。
解：
设在直角三角形$ABC$中，$\angle B = 90^\circ$，$sec\ \theta = sec\ A=\frac{5}{4}$。
我们知道：
在以B为直角的直角三角形ABC中，
根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数定义：
$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$
$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$
$cot\ \theta=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$
这里，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (5)^2=(4)^2+BC^2$
$\Rightarrow BC^2=25-16$
$\Rightarrow BC=\sqrt{9}=3$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$
$cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}$
这意味着：
考虑左边：
$\frac{\sin \theta-2 \cos \theta}{\tan \theta-\cot \theta}=\frac{\left(\frac{3}{5}\right) -2\left(\frac{4}{5}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right) -\left(\frac{4}{3}\right)}$
$=\frac{\frac{3-8}{5}}{\frac{3( 3) -4( 4)}{12}}$
$=\frac{\frac{-5}{5}}{\frac{9-16}{12}}$
$=\frac{-1}{\frac{-7}{12}}$
$=\frac{12}{7}$
\( \frac{\sin \theta-2 \cos \theta}{\tan \theta-\cot \theta} \)的值为\( \frac{12}{7} \).
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