如果 $\cos \theta=\frac{3}{5}$，求 $\frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta}$ 的值。

已知

$\cos \theta=\frac{3}{5}$

求解

我们需要求 $\frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta}$ 的值。

解：

设在直角三角形 ABC 中，∠B 为直角，$cos\ \theta = cos\ A=\frac{3}{5}$。

我们知道：

在以 B 为直角的直角三角形 ABC 中：

根据勾股定理：

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数定义：

$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$

这里：

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow (5)^2=(3)^2+BC^2$

$\Rightarrow BC^2=25-9$

$\Rightarrow BC=\sqrt{16}=4$

因此：

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$

$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{tan\ \theta}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

这意味着：

$\frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta}=\frac{\left(\frac{4}{5}\right) -\left(\frac{3}{4}\right)}{2\left(\frac{4}{3}\right)}$

$=\frac{\frac{4(4) -3(5)}{5(4)}}{\frac{8}{3}}$

$=\frac{\frac{16-15}{20}}{\frac{8}{3}}$

$=\frac{1}{20} \times \frac{3}{8}$

$=\frac{3}{160}$

$\frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta}$ 的值为 $\frac{3}{160}$.

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更新于：2022年10月10日

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