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法律研究如果 \( \cos \theta=\frac{3}{5} \)，求 \( \frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta} \) 的值。
已知
\( \cos \theta=\frac{3}{5} \)
求解
我们需要求 \( \frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta} \) 的值。
解：
设在直角三角形 ABC 中，∠B 为直角，\(cos\ \theta = cos\ A=\frac{3}{5}\)。
我们知道：
在以 B 为直角的直角三角形 ABC 中：
根据勾股定理：
\(AC^2=AB^2+BC^2\)
根据三角函数定义：
\(sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}\)
\(cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}\)
\(tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}\)
这里：
\(AC^2=AB^2+BC^2\)
\(\Rightarrow (5)^2=(3)^2+BC^2\)
\(\Rightarrow BC^2=25-9\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{16}=4\)
因此：
\(sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}\)
\(tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{tan\ \theta}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\)
这意味着：
\(\frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta}=\frac{\left(\frac{4}{5}\right) -\left(\frac{3}{4}\right)}{2\left(\frac{4}{3}\right)}\)
\(=\frac{\frac{4(4) -3(5)}{5(4)}}{\frac{8}{3}}\)
\(=\frac{\frac{16-15}{20}}{\frac{8}{3}}\)
\(=\frac{1}{20} \times \frac{3}{8}\)
\(=\frac{3}{160}\)
\( \frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta} \) 的值为 \( \frac{3}{160} \).
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