如果\( \tan \theta=\frac{24}{7} \)，求\( \sin \theta+\cos \theta \)

已知

$tan\ \theta = \frac{24}{7}$。

求解

我们需要求\( \sin \theta+\cos \theta \)的值。

解:  

假设在直角三角形$ABC$中，$\angle B$为直角，且$\ tan\ \theta = tan\ A=\frac{24}{7}$。

我们知道，

在以$B$为直角的直角三角形$ABC$中，

根据勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数的定义，

$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$

这里，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(7)^2+(24)^2$

$\Rightarrow AC^2=49+576$

$\Rightarrow AC=\sqrt{625}=25$

因此，

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{25}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{25}$

$sin \theta+\cos \theta=\frac{24}{25}+\frac{7}{25}$

$=\frac{31}{25}$

\( \sin \theta+\cos \theta \)的值为\( \frac{31}{25} \)。  

教程点

更新于: 2022年10月10日

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