数据结构
网络
关系数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化学
生物
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法学如果\( \sin \theta=\frac{12}{13} \)，求\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值。
已知
\( \sin \theta=\frac{12}{13} \).
求解
我们需要求\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值。
解:
设在直角三角形$ABC$中，$\angle B = 90°$，且$\ sin\ \theta = sin\ A=\frac{12}{13}$。
我们知道：
在以$B$为直角的直角三角形$ABC$中：
根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数定义：
$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$
这里：
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (13)^2=AB^2+(12)^2$
$\Rightarrow AB^2=169-144$
$\Rightarrow AB=\sqrt{25}=5$
因此：
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{5}$
$\frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta}=\frac{\left(\frac{12}{13}\right)^{2} -\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}{2\left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{5}{13}\right)} \times \frac{1}{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}$
$=\frac{\frac{144-25}{169}}{\frac{120}{169}} \times \frac{25}{144}$
$=\frac{119}{120} \times \frac{25}{144}$
$=\frac{119\times 5}{24\times 144}$
$=\frac{595}{3456}$
\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值为\( \frac{595}{3456} \)。
501 次浏览
