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法律研究如果\( \cos \theta+\cos ^{2} \theta=1 \)，证明\( \sin ^{12} \theta+3 \sin ^{10} \theta+3 \sin ^{8} \theta+\sin ^{6} \theta+2 \sin ^{4} \theta+2 \sin ^{2} \theta-2=1 \)
已知
\( \cos \theta+\cos ^{2} \theta=1 \)
要求
我们需要证明\( \sin ^{12} \theta+3 \sin ^{10} \theta+3 \sin ^{8} \theta+\sin ^{6} \theta+2 \sin ^{4} \theta+2 \sin ^{2} \theta-2=1 \)。
解答
我们知道：
$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此，
$\cos \theta+\cos ^{2} \theta=1$
$\Rightarrow \cos \theta=1-\cos ^{2} \theta$
$\Rightarrow \cos \theta=\sin ^{2} \theta$
$\Rightarrow \cos^2 \theta=\sin ^{4} \theta$
这意味着：
$\sin ^{12} \theta+3 \sin ^{10} \theta+3 \sin ^{8} \theta+\sin ^{6} \theta +2 \sin ^{4} \theta+2 \sin ^{2} \theta-2 =(\sin ^{12} \theta+3 \sin ^{10} \theta+3 \sin ^{8} \theta+\sin ^{6} \theta)+2(\sin ^{4} \theta+\sin ^{2} \theta-1)$
$=(\sin ^{4} \theta+\sin ^{2} \theta)^{3}+2(\sin ^{4} \theta+\sin ^{2} \theta-1)$ [因为 $(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$]
$=(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta)^{3}+2(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta-1)$
$=(1)^{3}+2(1-1)$
$=1+2 \times 0$
$=1+0$
$=1$
因此得证。
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